Линейные неравенства с одной переменной. Решение неравенств с одной переменной

С одной переменной: что такое равносильные неравенства; какие преобразования неравенств являются равносильными, а какие - нет. Эти вопросы мы обсуждали в курсе алгебры, начиная с 8-го класса, да и в настоящем учебнике о них уже шла речь, например, при решении показательных и логарифмических неравенств. Мы снова возвращаемся к этим вопросам потому, что завершая изучение школьного курса алгебры, целесообразно как бы заново переосмыслить общие идеи и методы.

1. Равносильность неравенств

Напомним, что решением неравенства а(х) > п(х) называют всякое значение переменной х, которое обращает заданное неравенство с переменной в верное числовое неравенство. Иногда используют термин частное решение. Множество всех частных решений неравенства называют общим решением, но чаще употребляют термин решение. Таким образом, термин решение используют в трех смыслах: и как общее решение, и как частное решение, и как процесс, но обычно по смыслу бывает ясно, о чем идет речь.

Определение 1. Два неравенства с одной переменной f(x)>g(x)и p(х)> h(x) называют равносильными, если их решения (т.е. множества частных решений) совпадают.

Вы, конечно, понимаете, что использование в определении знака > непринципиально. Можно и в этом определении, и во всех утверждениях, имеющихся в данном параграфе, использовать любой другой знак неравенства, как строгого, так и нестрогого.

Определение 2. Если решение неравенства

содержится в решении неравенства

то неравенство (2) называют следствием неравенства (1)

Например, неравенство х 2 >9 является следствием неравенства 2х>6. В самом деле, преобразовав первое неравенство к виду х 2 -9 >0и далее к виду (х-3)(х+3) >0 и применив метод интервалов (рис. 245), получаем, что решением неравенства служит объединение двух открытых лучей: Решение второго неравенства 2х>6 имеет вид х>3, т.е. представляет собой открытый луч Решение второго неравенства является частью решения первого неравенства, а потому первое неравенство - следствие второго.
Любопытно, что ситуация изменится радикальным образом, если в обоих неравенствах изменить знак неравенства. Неравенство 2х < 6 будет следствием неравенства x 2 < 9. В самом деле, решением первого неравенства служит открытый луч . Преобразовав второе неравенство к виду х r - 9 <0 и далее к виду (х-3)(х+3) <06 применив метод интервалов (см. рис. 245), получаем, что решением неравенства служит интервал (-3, 3). Решение второго неравенства является частью решения первого неравенства, а потому первое неравенство - следствие второго.

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Уравнения с одной переменной. Равенство, содержащее переменную, называют уравнением с одной переменной, или уравнением с одним неизвестным. Например, уравнением с одной переменной является равенство 3(2х+7)=4х-1.

Корнем или решением уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Уравнения называются равносильными, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения и наоборот, все корни второго уравнения являются корнями первого уравнения или, если оба уравнения не имеют корней. Например, уравнения х-8=2 и х+10=20 равносильны, т.к. корень первого уравнения х=10 является корнем и второго уравнения, и оба уравнения имеют по одному корню.

Теоремы о равносильности уравнений. Первые три теоремы - «спокойные», они гарантируют равносильность преобразований без каких-либо дополнительных условий, их использование не причиняет решающему никаких неприятностей.

Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение,равносильное данному.

Теорема 3. Показательное уравнение

Следующие три теоремы - «беспокойные», они работают лишь при определенных условиях, а значит, могут доставить некоторые неприятности при решении уравнений.

Областью определения уравнения f(х) = g(х) или областью допустимых значений (ОДЗ) переменной называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения f(х) и g(х).

Теорема 4. Если обе части уравнения f(х)=g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), которое:

а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f(х) = g(х);

б) нигде в этой области не обращается в 0 - то получится уравнение f(х) h(х) = g(х) h(х), равносильное данному.

Следствием теоремы 4 является еще одно «спокойное» утверждение: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 5. Если обе части уравнения f(х) = g(х) неотрицательны в области определения уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень п получится уравнение, равносильное данному: f(х)n = g (x)n .

Теорема 6. Если f(х) > 0 и g (х) > 0, то логарифмическое уравнение

Равносильно уравнению f(х) = g(x).

Линейные неравенства с одной переменной. Если переменной х придать какое-либо числовое значение, то мы получим числовое неравенство, выражающее либо истинное, либо ложное высказывание. Пусть, например, дано неравенство 5х-1>3х+2. При х=2 получим 5·2-1>3·2+2 – истинное высказывание (верное числовое высказывание); при х=0 получаем 5·0-1>3·0+2 – ложное высказывание. Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства. Решить неравенство с переменной – значит найти множество всех его решений.

Два неравенства с одной переменной х называются равносильными, если множества решений этих неравенств совпадают.

Основная идея решения неравенства состоит в следующем: мы заменяем данное неравенство другим, более простым, но равносильным данному; полученное неравенство снова заменяем более простым равносильным ему неравенством и т.д.

Такие замены осуществляются на основе следующих утверждений.

Теорема 1. Если какой-либо член неравенства с одной переменной перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 3. Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Линейным называется неравенство вида ax+b>0 (соответственно ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.

1. Понятие неравенства с одной переменной

2. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств

3. Решение неравенств с одной переменной

4. Графическое решение неравенств с одной переменной

5. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля

6. Основные выводы

Неравенства с одной переменной

Предложения 2х + 7 > 10-х, х 2 +7х < 2,(х + 2)(2х-3)> 0 называют неравенствами с одной переменной.

В общем виде это понятие определяют так:

Определение. Пусть f(х) и g(х) - два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда неравенство вида f(х) > g(х) или f(х) < g(х) называется неравенством с одной переменной. Множество X называется областью его определения.

Значение переменной x из множества X, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением. Решить неравенство - это значит найти множество его решений.

Так, решением неравенства 2 x + 7 > 10 -х, х ? R является число x = 5, так как 2·5 + 7 > 10 - 5 - истинное числовое неравенство. А множество его решений - это промежуток (1, ∞), который находят, выполняя преобразование неравенства: 2 x + 7 > 10- x => 3 x >3 => x >1.

Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств

В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.

Определение.Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.

Например, неравенства 2 x + 7 > 10 и 2 x > 3 равносильны, так как их множества решений равны и представляют собой промежуток (2/3, ∞).

Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них аналогичны соответствующим теоремам о равносильности уравнений. При их доказательстве используются свойства истинных числовых неравенств.

Теорема 3. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h (x ) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)+ h(x) > g(х) + h(x) равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используются при решении неравенств:

1) Если к обеим частям неравенства f(х) > g(х) прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f(х) + d > g(х)+ d, равносильное исходному.

2) Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Теорема 4. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h (х х из множества X выражение h(х) принимает положительные значения. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)· h(x) > g(х) · h(x) равносильны на множестве X.

f(х) > g(х) умножить на одно и то же положительное число d, то получим неравенство f(х)·d > g(х) ·d, равносильное данному.

Теорема 5. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h (х ) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х их множества X выражение h (х ) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)· h(x) > g(х)· h(x) равносильны на множестве X .

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(х) > g(х) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f(х)·d > g(х) ·d, равносильное данному.

Решение неравенств с одной переменной

Решим неравенство 5х - 5 < 2х - 16, х ? R , и обоснуем все преобразования, которые мы будем выполнять в процессе решения.

Решением неравенства х < 7 является промежуток (-∞, 7) и, следовательно, множеством решений неравенства 5х - 5 < 2х + 16 является промежуток (-∞, 7).

Упражнения

1. Установите, какие из следующих записей являются неравенствами с одной переменной:

а) -12 - 7х < 3x + 8; г) 12х + 3(х - 2);

б) 15(x + 2)>4; д) 17-12·8;

в) 17-(13 + 8) < 14-9; е) 2х 2 + 3x -4> 0.

2. Является ли число 3 решением неравенства 6(2х + 7) < 15(х + 2), х ? R ? А число 4,25?

3. Равносильны ли на множестве действительных чисел следующие пары неравенств:

а) -17х < -51 и х > 3;

б) (3x -1)/4 >0 и 3х -1>0;

в) 6-5x >-4 и х <2?

4. Какие из следующих высказываний истинны:

а) -7 х < -28 => x >4;

б) x < 6 => x < 5;

в) х < 6 => х < 20?

5. Решите неравенство 3(x - 2) - 4(х + 1) < 2(х - 3) - 2 и обоснуйте все преобразования, которые будете при этом выполнять.

6. Докажите, что решением неравенства 2(х + 1) + 5 > 3 - (1 - 2х ) является любое действительное число.

7. Докажите, что не существует действительного числа, которое являлось бы решением неравенства 3(2 - х ) - 2 > 5 - 3х .

8. Одна сторона треугольника равна 5 см, а другая 8 см. Какой может быть длина третьей стороны, если периметр треугольника:

а) меньше 22 см;

б) больше 17 см?

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Для графического решения неравенства f (х) > g (х) нужно построить графики функций

у = f (х) = g (х) и выбрать те промежутки оси абсцисс, на которых график функции у = f (х) расположен выше графика функции у = g (х).

Пример 17.8. Решите графически неравенство х 2 - 4 > 3х.

У - х* - 4

Решение. Построим в одной системе координат графики функций

у = х 2 - 4 и у = Зх (рис. 17.5). Из рисунка видно, что графики функций у = х 2 - 4 расположен выше графика функции у = 3х при х < -1 и х > 4, т.е. множество решений исходного неравенства есть множество

(- ¥; -1) È (4; + оо).

Ответ: х Î (- оо; -1) и (4; + оо).

Графиком квадратичной функции у = ах 2 + bх + с является парабола с ветвями, направленными вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0. При этом возможны три случая: парабола пересекает ось Ох (т.е. уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет два различных корня); парабола касается оси х (т.е. уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет один корень); парабола не пересекает ось Ох (т.е. уравнение ах 2 + bх + с = 0 не имеет корней). Таким образом, возможны шесть положений параболы, служащей графиком функции у = ах 2 + bх + с (рис. 17.6). Используя эти иллюстрации, можно решать квадратные неравенства.

Пример 17.9. Решите неравенство: а) 2х г + 5х - 3 > 0; б) -Зх 2 - 2х - 6 < 0.

Решение, а) Уравнение 2х 2 + 5х -3 = 0 имеет два корня: х, = -3, х 2 = 0,5. Парабола, служащая графиком функции у = 2х 2 + 5х -3, показана на рис. а. Неравенство 2х 2 + 5х -3 > 0 выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат выше оси Ох: это будет при х < х х или при х > х г> т.е. при х < -3 или при х > 0,5. Значит, множество решений исходного неравенства есть множество (- ¥; -3) и (0,5; + ¥).

б) Уравнение -Зх 2 + 2х- 6 = 0 не имеет действительных корней. Парабола, служащая графиком функции у = - 3х 2 - 2х - 6, показана на рис. 17.6 Неравенство -3х 2 - 2х - 6 < О выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат ниже оси Ох. Поскольку вся парабола лежит ниже оси Ох, то множество решений исходного неравенства есть множество R.

НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ. При решении данных неравенств следует иметь в виду, что:

| f(х) | =

f(х) , если f(х) ³ 0,

- f(х) , если f(х) < 0,

При этом область допустимых значений неравенства следует разбить на интервалы, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак. Затем, раскрывая модули (с учетом знаков выражений), нужно решать неравенство на каждом интервале и полученные решения объединять в множество решений исходного неравенства.

Пример 17.10. Решите неравенство:

|х -1| + |2- х| > 3+х.

Решение. Точки х = 1 и х = 2 делят числовую ось (ОДЗ неравенства (17.9) на три интервала: х < 1, 1 £ х £.2, х > 2. Решим данное неравенство на каждом из них. Если х < 1, то х - 1 < 0 и 2 – х > 0; поэтому |х -1| = - (х - I), |2 - х | = 2 - х. Значит, неравенство (17.9) принимает вид: 1- х + 2 - х > 3 + х, т.е. х < 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.

Если 1 £ х £.2, то х - 1 ³ 0 и 2 – х ³ 0; поэтому | х- 1| = х - 1, |2 - х| = 2 – х. .Значит, имеет место система:

х – 1 + 2 – х > 3 + х,

Полученная система неравенств решений не имеет. Следовательно, на интервале [ 1; 2] множество решений неравенства (17.9) пусто.

Если х > 2, то х - 1 >0 и 2 – х <0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:

х -1 + х – 2 > 3+х,

х > 6 или

Объединяя найденные решения на всех частях ОДЗ неравенства (17.9), получаем его решение - множество (-¥; 0) È (6; +оо).

Иногда полезно воспользоваться геометрической интерпретацией модуля действительного числа, согласно которой | а | означает расстояние точки а координатной прямой от начала отсчета О, а | а - b | означает расстояние между точками а и b на координатной прямой. Кроме того, можно использовать метод возведения в квадрат обеих частей неравенства.

Теорема 17.5. Если выражения f (х) и g (х) при любых х принимают только неотрицательные значения, то неравенства f (х) > g (х) и f (х) ² > g (х) ² равносильны.

58. Основные выводы § 12

В данном параграфе мы определили следующие понятия:

Числовое выражение;

Значение числового выражения;

Выражение, не имеющее смысла;

Выражение с переменной (переменными);

Область определения выражения;

Тождественно равные выражения;

Тождество;

Тождественное преобразование выражения;

Числовое равенство;

Числовое неравенство;

Уравнение с одной переменной;

Корень уравнения;

Что значит решить уравнение;

Равносильные уравнения;

Неравенство с одной переменной;

Решение неравенства;

Что значит решить неравенство;

Равносильные неравенства.

Кроме того, мы рассмотрели теоремы о равносильности уравнений и неравенств, являющиеся основой их решения.

Знание определений всех названных выше понятий и теорем о равносильности уравнений и неравенств - необходимое условие методически грамотного изучения с младшими школьниками алгебраического материала.

х и областью определения Х . Тогда неравенство вида f (x ) > g (x ) или f (x ) < g (x ) называется неравенством с одной переменной . Множество Х называется областью его определения.

Значение переменной х из множества Х , при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением. Решить неравенство - это значит найти множество его решений.

В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.

Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.

Теорема 1. Пусть неравенство f (x ) > g (x ) задано на множестве Х и h (x ) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства f (x ) > g (x ) и f (x ) + h (x ) > g (x ) + h (x ) равносильны на множестве Х .

Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используют при решении неравенств:

1) Если к обеим частям неравенства f (x ) > g (x ) прибавить одно и то же число d , то получим неравенство f (x ) + d > g (x ) + d , равносильное исходному.

2) Если какое-либо слагаемое ( или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Теорема 2. Пусть неравенство f (x ) > g (x ) задано на множестве Х и h (x х из множества Х выражение h (x ) принимает положительные значения. Тогда неравенства f (x ) > g (x ) и f (x ) × h (x ) > g (x ) × h (x ) равносильны на множествеХ .

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f (x ) > g (x ) умножить на одно и то же положительное число d , то получим неравенство f (x ) × d > g (x ) × d , равносильное данному.

Теорема 3. Пусть неравенство f (x ) > g (x ) задано на множестве Х и h (x ) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х из множества Х выражение h (x ) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства f (x ) > g (x ) и f (x ) × h (x ) < g (x ) × h (x ) равносильны на множестве Х .

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f (x ) > g (x ) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f (x ) × d < g (x ) × d , равносильное данному.

Задача. Является ли число х = 5 решением неравенства 2х + 7 > 10 - х, х Î R ? Найти множество решений этого неравенства.

Решение. Число х = 5 является решением неравенства
2х + 7 > 10 - х , так как 2×5 + 7 > 10 - 5 - истинное числовое неравенство. А множество его решений - это промежуток (1; ¥), который находят, выполняя преобразование неравенства 2х + 7 > 10 - х Þ 3х > 3 Þ х > 1.

Задача. Решить неравенство 5х - 5 < 2х + 16 и обосновать все преобразования, которые будут выполняться в процессе решения.

Решение.

Преобразования	Обоснование преобразований
1. Перенесем выражение 2х в левую часть, а число -5 в правую, поменяв их знаки на противоположные: 5х - 2х < 16 + 5.	Воспользовались следствием 2 из теоремы 3, получили неравенство, равносильное исходному.
2. Приведем подобные члены в левой и правой частях неравенства: 3х < 21.	Выполнили тождественные преобразования выражений в левой и правой частях неравенства - они не нарушили равносильности неравенств: данного и исходного.
3. Разделим обе части неравенства на 3: х < 7.	Воспользовались следствием из теоремы 4, получили неравенство, равносильное исходному.

Предложения 2х+7>10-х, х 2 +7х<2, (х+2)(2х-3)> 0 называют неравенствами с одной переменной.

В общем виде это понятие определяют так:

Определение .Пусть f(х) и q(х) - два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда неравенство вида f(х) < q(х) или f(х) > q(х) называется неравенством с одной переменной. Множество Х называется областью его определения.

Значение переменной х из множества X, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением.Решить неравенство - это значит найти множество его решений.

Так, решением неравенства 2х +7>10-х , х Î R является число х=5, так как 2×5+7>10-5- истинное числовое неравенство. А множество его решений - это промежуток (1, ¥), который находят, выполняя преобразование неравенства: 2х+7>10-х Þ 3х> Þ х>1.

В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.

Определение. Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.

Например , неравенства 2х+7>10 и 2х>3 равносильны, так как их множества решений равны и представляют собой промежуток

Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них аналогичны соответствующим теоремам о равносильности уравнений. При их доказательстве используется свойства истинных числовых неравенств.

Теорема 3 . Пусть неравенство f(х) > q(х) задано на множестве Х и h(х) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства f(х) > q(х) и f(х)+ h(х) > q(х)+ h(х) равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используются при решении неравенств:

1) Если к обеим частям неравенства f(х) > q(х) прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f(х)+ d > q(х)+ d, равносильное исходному.

Теорема 4. Пусть неравенство f(х) > q(х) задано на множестве Х и h(х) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х из множества Х выражение h(х) принимает положительные значения. Тогда неравенства f(х)× h(х) > q(х)× h(х) равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(х) > q(х)умножить на одно и то же положительное число d, то получим неравенство f(х)× d > q(х)× d , равносильное данному.

Теорема 5 . Пусть неравенство f(х) > q(х) задано на множестве Х и h(х) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х их множества Х выражение h(х) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства f(х) > q(х) b f(х)× h(х) < q(х)× h(х) равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(х) > q(х) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f(х)× d < q(х) × d, равносильное данному.

Решим неравенство 5х - 5 < 2х - 16,х Î R ,и обоснуем все преобразования, которые мы будем выполнять в процессе решения.