Несколько лет назад с удивлением узнала, что сегодня в школах (даже во многих физ-мат школах), на кружках, да и в случаях “репетирования’’ не учат делить полиномы, или многочлены, в столбик. Самое забавное при этом, что схему Горнера школьники знают и используют для деления полиномов. Похоже, считается, что деление в столбик слишком сложно для неокрепшего разума, а вот выучить наизусть табличку, которая позволяет делить на многочлен первой степени, ему вполне по силам. Естественно, никто при этом не заботится о том, чтобы школьники поняли, почему так можно делить. Чтобы восполнить вопиющий пробел в образовании таких ребят, привожу здесь метод деления полинома на полином столбиком, который на самом деле довольно прост и позволяет делить на полиномы произвольной степени.

Начнем с того, что для двух многочленов и ( не должен быть тождественно равным нулю) справедлива . Если же остаток нулевой, то говорят, что делится на без остатка.

А теперь давайте рассмотрим примеры: на них учиться делить полиномы проще.

Пример 1. Разделим на (обратите внимание, оба многочлена записаны по убыванию степеней ). Сначала запишу то, что должно получиться, а затем приведу объяснения, как это получить.

Сначала старший член делимого — это — поделим на старший член делителя, то есть на . Полученный результат, который равен , будет старшим членом частного. Теперь умножим делитель на этот многочлен (получим ) и вычтем полученный результат из делимого. Получим остаток . Старший член этого остатка, который равен снова поделим на старший член делителя, который равен , получим , что и будет вторым членом частного. Делитель, умноженный на этот член, вычитаем из первого остатка. Получаем второй остаток, который равен нулю. На этом процесс деления заканчивается.

Легко проверить, что

Вообще говоря, деление заканчивается, как только степень полученного остатка будет меньше (строго меньше!) степени делителя. Давайте рассмотрим еще один пример.

Пример 2. Поделим на .

Деление закончено, поскольку степень последнего остатка меньше степени делителя (), иначе говоря, старший член остатка не делится нацело на старший член делителя.

Проверка. Действительно, нетрудно убедиться в том, что

Приводится доказательство, что неправильную дробь, составленную из многочленов, можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. Подробно разобраны примеры деления многочленов уголком и умножения столбиком.

Теорема

Пусть P k (x) , Q n (x) - многочлены от переменной x степеней k и n , соответственно, причем k ≥ n . Тогда многочлен P k (x) можно представить единственным способом в следующем виде:
(1) P k (x) = S k-n (x) Q n (x) + U n-1 (x) ,
где S k-n (x) - многочлен степени k-n , U n-1 (x) - многочлен степени не выше n-1 , или нуль.

Доказательство

По определению многочлена:
;
;
;
,
где p i , q i - известные коэффициенты, s i , u i - неизвестные коэффициенты.

Введем обозначение:
.
Подставим в (1) :
;
(2) .
Первый член в правой части - это многочлен степени k . Сумма второго и третьего членов - это многочлен степени не выше k - 1 . Приравняем коэффициенты при x k :
p k = s k-n q n .
Отсюда s k-n = p k / q n .

Преобразуем уравнение (2) :
.
Введем обозначение: .
Поскольку s k-n = p k / q n , то коэффициент при x k равен нулю. Поэтому - это многочлен степени не выше k - 1 , . Тогда предыдущее уравнение можно переписать в виде:
(3) .

Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение (1) , только значение k стало на 1 меньше. Повторяя эту процедуру k-n раз, получаем уравнение:
,
из которого определяем коэффициенты многочлена U n-1 (x) .

Итак, мы определили все неизвестные коэффициенты s i , u l . Причем s k-n ≠ 0 . Лемма доказана.

Деление многочленов

Разделив обе части уравнения (1) на Q n (x) , получим:
(4) .
По аналогии с десятичными числами, S k-n (x) называется целой частью дроби или частным, U n-1 (x) - остатком от деления. Дробь многочленов, у которой степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе называется правильной дробью. Дробь многочленов, у которой степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе называется неправильной дробью.

Уравнение (4) показывает, что любую неправильную дробь многочленов можно упростить, представив ее в виде суммы целой части и правильной дроби.

По своей сути, целые десятичные числа являются многочленами, у которых переменная равна числу 10 . Например, возьмем число 265847. Его можно представить в виде:
.
То есть это многочлен пятой степени от 10 . Цифры 2, 6, 5, 8, 4, 7 являются коэффициентами разложения числа по степеням числа 10.

Поэтому к многочленам можно применить правило деления уголком (иногда его называют делением в столбик), применяемое к делению чисел. Единственное отличие заключается в том, что, при делении многочленов, не нужно переводить числа больше девяти в старшие разряды. Рассмотрим процесс деления многочленов уголком на конкретных примерах.

Пример деления многочленов уголком

.

Решение

Здесь в числителе стоит многочлен четвертой степени. В знаменателе - многочлен второй степени. Поскольку 4 ≥ 2 , то дробь неправильная. Выделим целую часть, разделив многочлены уголком (в столбик):

Приведем подробное описание процесса деления. Исходные многочлены записываем в левый и правый столбики. Под многочленом знаменателя, в правом столбике, проводим горизонтальную черту (уголок). Ниже этой черты, под уголком, будет целая часть дроби.

1.1 Находим первый член целой части (под уголком). Для этого разделим старший член числителя на старший член знаменателя: .

1.2 Умножаем 2 x 2 на x 2 - 3 x + 5 :
. Результат записываем в левый столбик:

1.3 Берем разность многочленов в левом столбике:

.

Итак, мы получили промежуточный результат:
.

Дробь в правой части неправильная, поскольку степень многочлена в числителе (3 ) больше или равна степени многочлена в знаменателе (2 ). Повторяем вычисления. Только теперь числитель дроби находится в последней строке левого столбика.
2.1 Разделим старший член числителя на старший член знаменателя: ;

2.2 Умножаем на знаменатель: ;

2.3 И вычитаем из последней строки левого столбика: ;


Промежуточный результат:
.

Снова повторяем вычисления, поскольку в правой части стоит неправильная дробь.
3.1 ;
3.2 ;
3.3 ;


Итак, мы получили:
.
Степень многочлена в числителе правой дроби меньше степени многочлена знаменателя, 1 < 2 . Поэтому дробь - правильная.

Ответ

;
2 x 2 - 4 x + 1 - это целая часть;
x - 8 - остаток от деления.

Пример 2

Выделить целую часть дроби и найти остаток от деления:
.

Решение

Выполняем те же действия, что и в предыдущем примере:

Здесь остаток от деления равен нулю:
.

Ответ

Умножение многочленов столбиком

Также можно умножать многочлены столбиком, аналогично умножению целых чисел. Рассмотрим конкретные примеры.

Пример умножения многочленов столбиком

Найти произведение многочленов:
.

Решение

1

2.1
.

2.2
.

2.3
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x .

3
;
;
;
.

Заметим, что можно было записывать только коэффициенты, а степени переменной x можно было опустить. Тогда умножение столбиком многочленов будет выглядеть так:

Ответ

Пример 2

Найти произведение многочленов столбиком:
.

Решение

При умножении многочленов столбиком важно записывать одинаковые степени переменной x друг под другом. Если некоторые степени x пропущены, то их следует записывать явно, умножив на нуль, либо оставлять пробелы.

В этом примере некоторые степени пропущены. Поэтому запишем их явно, умноженными на нуль:
.
Умножаем многочлены столбиком.

1 Записываем исходные многочлены друг под другом в столбик и проводим черту.

2.1 Умножаем младший член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик.

2.2 Следующий член второго многочлена равен нулю. Поэтому его произведение на первый многочлен также равно нулю. Нулевую строку можно не записывать.

2.3 Умножаем следующий член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x .

2.3 Умножаем следующий (старший) член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x .

3 После того, как все члены второго многочлена умножили на первый, проводим черту и складываем члены с одинаковыми степенями x :

С помощью данной математической программы вы можете поделить многочлены столбиком.
Программа деления многочлена на многочлен не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вам нужно или упростить многочлен или умножить многочлены , то для этого у нас есть отдельная программа Упрощение (умножение) многочлена

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Деление многочлена на многочлен (двучлен) столбиком (уголком)

В алгебре деление многочленов столбиком (уголком) - алгоритм деления многочлена f(x) на многочлен (двучлен) g(x), степень которого меньше или равна степени многочлена f(x).

Алгоритм деления многочлена на многочлен представляет собой обобщенную форму деления чисел столбиком, легко реализуемую вручную.

Для любых многочленов \(f(x) \) и \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \), существуют единственные полиномы \(q(x) \) и \(r(x) \), такие что
\(\frac{f(x)}{g(x)} = q(x)+\frac{r(x)}{g(x)} \)
причем \(r(x) \) имеет более низкую степень, чем \(g(x) \).

Целью алгоритма деления многочленов в столбик (уголком) является нахождение частного \(q(x) \) и остатка \(r(x) \) для заданных делимого \(f(x) \) и ненулевого делителя \(g(x) \)

Пример

Разделим один многочлен на другой многочлен (двучлен) столбиком (уголком):
\(\large \frac{x^3-12x^2-42}{x-3} \)

Частное и остаток от деления данных многочленов могут быть найдены в ходе выполнения следующих шагов:
1. Делим первый элемент делимого на старший элемент делителя, помещаем результат под чертой \((x^3/x = x^2) \)

3. Вычитаем полученный после умножения многочлен из делимого, записываем результат под чертой \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x-42) \)

4. Повторяем предыдущие 3 шага, используя в качестве делимого многочлен, записанный под чертой.

5. Повторяем шаг 4.

6. Конец алгоритма.
Таким образом, многочлен \(q(x)=x^2-9x-27 \) - частное деления многочленов, а \(r(x)=-123 \) - остаток от деления многочленов.

Результат деления многочленов можно записать в виде двух равенств:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123 \)
или
\(\large{\frac{x^3-12x^2-42}{x-3}} = x^2-9x-27 + \large{\frac{-123}{x-3}} \)

В данной статье будут рассмотрены рациональные дроби, ее выделения целых частей. Дроби бывают правильными и неправильными. Когда в дроби числитель меньше знаменателя – это правильная дробь, а неправильная наоборот.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Рассмотрим примеры правильных дробей: 1 2 , 9 29 , 8 17 , неправильных: 16 3 , 21 20 , 301 24 .

Будем вычислять дроби, которые могут сократиться, то есть 12 16 - это 3 4 , 21 14 - это 3 2 .

При выделении целой части производится процесс деления числителя на знаменатель. Тогда такая дробь может быть представлена как сумма целой и дробной части, где дробная считается отношением остатка от деления и знаменателя.

Пример 1

Найти остаток при делении 27 на 4 .

Решение

Необходимо произвести деление столбиком, тогда получим, что

Значит, 27 4 = ц е л а я ч а с т ь + о с т а т о к з н а м е н а т е л ь = 6 + 3 4

Ответ: остаток 3 .

Пример 2

Произвести выделение целых частей 331 12 и 41 57 .

Решение

Производим деление знаменателя на числитель при помощи уголка:

Поэтому имеем, что 331 12 = 27 + 7 12 .

Вторая дробь является правильной, значит, целая часть равняется нулю.

Ответ: целые части 27 и 0 .

Рассмотрим классификацию многочленов, иначе говоря, дробно-рациональную функцию. Ее считают правильной, когда степень числителя меньше степени знаменателя, иначе ее считают неправильной.

Определение 1

Деление многочлена на многочлен происходит по принципу деления углом, а представление функции как сумма целой и дробной частей.

Чтобы разделить многочлен на линейный двучлен, используется схема Горнера.

Пример 3

Произвести деление x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 на одночлен 2 x 2 .

Решение

Воспользовавшись свойством деления, запишем, что

x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 2 x 2 = x 9 2 x 2 + 7 x 7 2 x 2 - 3 2 x 3 2 x 2 + x 2 2 x 2 - 2 2 x 2 = = 1 2 x 7 + 7 2 x 5 - 3 4 x + 1 2 - 2 2 x - 2 .

Зачастую такого вида преобразования выполняются при взятии интегралов.

Пример 4

Произвести деление многочлена на многочлен: 2 x 3 + 3 на x 3 + x .

Решение

Знак деления можно записать в виде дроби вида 2 x 3 + 3 x 3 + x . Теперь необходимо выделить целую часть. Производим это при помощи деления столбиком. Получаем, что

Значит, получаем, что целая часть имеет значение - 2 x + 3 , тогда все выражение записывается как 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x

Пример 5

Разделить и найти остаток от деления 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 на x 3 + 2 x 2 - 1 .

Решение

Зафиксируем дробь вида 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 .

Степень числителя больше, чем у знаменателя, значит, что у нас имеется неправильная дробь. При помощи деления столбиком выдели целую часть. Получаем, что

Произведем деление еще раз и получим:

Отсюда имеем, что остаток равняется - 65 x 2 + 10 x - 3 , отсюда следует:

2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 = 2 x 3 - 5 x 2 + 10 x - 6 + - 65 x 2 + 10 x - 3 x 3 + 2 x 2 - 1

Существуют случаи, где необходимо дополнительно выполнять преобразование дроби для того, чтобы можно было выявить остаток при делении. Это выглядит следующим образом:

3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 x 3 - 3 - 3 x 2 x 3 - 3 + 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x x 3 - 3 - 2 x x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x (x 3 - 3) - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x + - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3

Значит, что остаток при делении 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 на x 3 - 3 дает значение - 3 x 2 + 6 x - 4 . Для быстрого нахождения результата применяют формулы сокращенного умножения.

Пример 6

Произвести деление 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 на 2 x + 3 .

Решение

Запишем деление в виде дроби. Получим, что 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 . Заметим, что в числителе выражение можно сложить по формуле куба суммы. Имеем, что

8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 = (2 x + 3) 3 2 x + 3 = (2 x + 3) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9

Заданный многочлен делится без остатка.

Для решения используется более удобный метод решения, причем деление многочлена на многочлен считается максимально универсальным, поэтому часто используемым при выделении целой части. Итоговая запись должна содержать полученный многочлен от деления.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Деление «уголком» - это, на мой взгляд, самая тяжелая, самая нудная тема во всей школьной математике. Тут нам придется всерьез поднапрячься. Пусть, однако, нас вдохновляет мысль, что весь последующий материал будет значительно легче и приятнее.

Прежде всего, рассмотрим деление на однозначное число. Допустим, мы хотим вычислить значение выражения

Пользуясь свойствами умножения, мы можем расписать делимое таким образом:

6 ∙ 100 + 4 ∙ 10 + 8 =

3 ∙ 2 ∙ 100 + 2 ∙ 2 ∙ 10 + 4 ∙ 2 =

( 3 ∙ 100 + 2 ∙ 10 + 4 ) ∙ 2 =

3 2 4 ∙ 2 .

После этого становится очевидно, что частное от деления равно

Но это мы взяли самый что ни на есть простейший случай, когда каждую отдельно взятую цифру делимого можно поделить на делитель. А вот пример несколько посложнее:

Здесь первая цифра оказалась меньше делителя. Поэтому, расписывая делимое, мы не будем отрывать ее от второй цифры:

15 ∙ 10 + 6 .

Поскольку число 15 не делится нацело на 2, придется нам прибегнуть к делению с остатком. Представим результат такого деления в виде:

15 = 7 ∙ 2 + 1 = 14 + 1 .

Теперь мы можем продолжать расписывать наше делимое дальше:

15 ∙ 10 + 6 =

( 14 + 1 ) ∙ 10 + 6 =

14 ∙ 10 + 1 ∙ 10 + 6 =

14 ∙ 10 + 16 =

7 ∙ 2 ∙ 10 + 8 ∙ 2 =

( 7 ∙ 10 + 8 ) ∙ 2 =

7 8 ∙ 2 .

Отсюда моментально получаем ответ:

Такого рода расчеты можно проводить в уме и сразу же писать ответ. Но мы сейчас перепишем их в виде краткой таблицы. Умение составлять такие таблицы нам пригодится, когда мы займемся делением на многозначные числа, когда всё окажется не так просто. Делимое и делитель запишем так:

При делении первых двух разрядов ( 15 ) на двойку получается 7 плюс еще какой-то остаток. С этим остатком мы разберемся чуть позже, а пока запишем семерку под чертой снизу от делителя (здесь у нас со временем будет выписан полный ответ):

Умножаем на эту семерку наш делитель ( 2 ) и записываем ответ ( 14 ) под первыми двумя разрядами делимого ( 15 ):

Теперь настало время вычислить остаток от деления 15-ти на 2 . Он равен, очевидно,

15 − 2 ∙ 7 = 15 − 14 .

У нас уже всё подготовлено, чтобы выполнить это вычитание «столбиком»:

У нас получается единица , к которой мы приписываем шестерку из следующего разряда делимого:

В результате такого приписывания у нас получается число 16 . Мы делим его на наш делитеть ( 2 ) и получаем 8 . Эту восьмерку пишем в строке ответа, под чертой снизу от делителя:

Ответ мы получили, однако правила составления таблицы таковы, что нам надо добавить в нее еще две строки. Мы должны формальным образом убедиться, что не потеряли остаток от деления. Умножаем делитель ( 2 ) на последнюю цифру ответа ( 8 ), приписываем результат ( 16 ) снизу к нашей таблице в последние два разряда делимого:

Вычитаем последнюю строку из предпоследней и получаем 0:

Этот последний нуль есть не что иное, как остаток от деления, который образовался бы в том случае, если бы мы рассматривали деление с остатком:

156: 2 = 78 (ост. 0).

Чтобы получше это понять, возьмем похожий пример, в котором, однако, остаток не равен нулю:

157: 2 = 78 (ост. 1).

Таблица для этого примера выглядит так:

Здесь, опять-таки, остаток стоит в последней строке. Для полноты картины распишем наше делимое в таком виде:

14 ∙ 10 + 17 =

7 ∙ 2 ∙ 10 + 8 ∙ 2 + 1 =

( 7 ∙ 10 + 8 ) ∙ 2 + 1 =

7 8 ∙ 2 + 1

Теперь мы готовы к тому, чтобы делить (нацело или с остатком) на многозначные числа. Это делается при помощи подобной же таблицы (именно из-за ее особого вида данная процедура получила название деление «уголком» ). Допустим, требуется выполнить деление с остатком:

Приступаем к заполнению таблицы:

В данном случае, чтобы найти первую цифру частного, надо взять первые четыре цифры делимого ( 1356 ) и получившееся число поделить (с остатком) на делитель ( 259 ). Почему надо взять именно первые четыре цифры делимого? Потому что если бы мы взяли хотя бы на одну цифру меньше, то получившееся число ( 135 ) оказалось бы меньше делителя ( 259 ), а это совсем не то, из чего можно было бы извечь полезную информацию. Итак, возьмем первые четыре цифры делимого и рассмотрим следующее деление с остатком:

1356 : 259 = ?

Тут нам помогут приближенные вычисления, для которых, как мы знаем, вовсе необязательно, чтобы числа делились друг на друга нацело:

1356 / 259 ≈ 1356 / 300 ≈ 1500 / 300 = 15 / 3 = 5 .

Зная результат приближенного деления, мы можем предположить, что, скорее всего,

1356 : 259 = 5 (остаток - пока неважно какой).

Конечно, абсолютной уверенности у нас нет. Здесь вместо пятерки вполне может стоять четверка или шестерка , однако вряд ли мы ошиблись больше, чем на одну единицу. Имея это в виду, тем не менее берем эту пятерку и заносим ее в нашу таблицу в строку ответа. После этого умножаем на нее делитель ( 259 ) и при этом записываем ответ под делимым в подходящие разряды:

Здесь «маленькие» цифры - это побочный продукт процедуры умножения: мы познакомились с ними, когда учились умножать «в столбик». После того как умножение выполнено, они становятся больше не нужны: на них можно просто не обращать внимания. Выражение 259 ∙ 5 , написанное слева от таблицы, помещено сюда только ради пояснения того, что мы делаем. К таблице оно, собственно, не принадлежит, и в будущем мы такие пояснения выписывать не будем. Тут важно отметить, что результат нашего умножения ( 1295 ) оказался меньше записанного над ним числа 1356 , составленного из первых четырех цифр делимого. Если бы это было не так, то это означало бы, что приближенное деление дало нам завышенный результат. Нам надо было бы тогда зачеркнуть пятерку в строке ответа, на ее место поставить четверку - после чего зачеркнуть и переделать все наши последующие вычисления. Но нам на этот раз повезло, и ничего переделывать не требуется.

Теперь выполняем вычитание в столбик и получаем:

Внимательно приглядимся к полученной разности ( 61 ). Очень важно, что она оказалась меньше делителя ( 259 ). В противном случае мы пришли бы к выводу, что приближенное деление дало нам заниженный результат и нам пришлось бы теперь исправлять в строке ответа пятерку на шестерку , а также переделывать все последующие вычисления. К счастью, этого не случилось. Приближенное вычисление нас не подвело, и мы теперь совершенно точно знаем, что,

1356 : 259 = 5 (ост. 61 ).

Возвращаемся к таблице. К нашему остатку ( 61 ) приписываем семерку из следующего разряда делимого и приступаем к нахождению второй цифры ответа. Это делается с помощью точно такой же процедуры, что и раньше. Потом - очередь за третьей цифрой. В конце концов таблица принимает такой вид:

Можно выписывать окончательный ответ:

135674: 259 = 523 (ост. 217).

Самая большая неприятность в делении «уголком» состоит в том, что приближенные вычисления, к которым приходится прибегать по ходу дела, не дают сразу гарантированно правильного результата и нуждаются иногда в последующей коррекции. Впрочем, по мере тренировки, у нас выработается особое чутье и мы будем уже сразу почти наверняка знать, какие цифры следует писать в строке ответа, чтобы потом ничего больше не надо было исправлять и переделывать.

Разумеется, нам будут попадаться случаи, когда частное содержит нули. Каждый такой нуль позволит сделать в таблице небольшие сокращения. Вот пример такой таблицы:

Как и в случае умножения «в столбик», для того чтобы было удобнее писать «маленькие» цифры, нам может понадобиться

Теперь остается только тренироваться, тренироваться и тренироваться.