496. Найти х , если:
497. 1) Если к 3 / 10 неизвестного числа прибавить 10 1 / 2 , то получится 13 1 / 2 . Найти неизвестное число.
2) Если от 7 / 10 неизвестного числа вычесть 10 1 / 2 , то получится 15 2 / 5 . Найти неизвестное число.
498 *. Если из 3 / 4 неизвестного числа вычесть 10 и полученную разность умножить на 5, то получится 100. Найти число.
499 *. Если неизвестное число увеличить на 2 / 3 его, то получится 60. Какое это число?
500 *. Если к неизвестному числу прибавить столько же, да ещё 20 1 / 3 , то получится 105 2 / 5 . Найти неизвестное число.
501. 1) Урожай картофеля при квадратно-гнездовой посадке составляет в среднем 150 ц с 1 га, а при обычной посадке 3 / 5 этого количества. На сколько больше можно собрать картофеля с площади в 15 га, если посадку картофеля производить квадратно-гнездовым способом?
2) Опытный рабочий изготовил за 1 час 18 деталей, а малоопытный 2 / 3 этого количества. На сколько больше деталей изготовит опытный рабочий за 7-часовой рабочий день?
502. 1) Пионеры собрали в течение трёх дней 56 кг разных семян. В первый день было собрано 3 / 14 всего количества, во второй- в полтора раза больше, а в третий день-остальное зерно. Сколько килограммов семян собрали пионеры в третий день?
2) При размоле пшеницы получилось: муки 4 / 5 всего количества пшеницы, манной крупы - в 40 раз меньше, чем муки, а остальное- отруби. Сколько муки, манной крупы и отрубей в отдельности получилось при размоле 3 т пшеницы?
503. 1) В трёх гаражах помещается 460 машин. Число машин, помещающихся в первом гараже, составляет 3 / 4 числа машин, помещающихся во втором, а в третьем гараже в 1 1 / 2 раза больше машин, чем в первом. Сколько машин помещается в каждом гараже?
2) На заводе, имеющем три цеха, работает 6 000 рабочих. Во втором цехе работает в 1 1 / 2 раза меньше, чем в первом, а число рабочих третьего цеха составляет 5 / 6 числа рабочих второго цеха. Сколько рабочих в каждом цехе?
504. 1) Из резервуара с керосином отлили вначале 2 / 5 , потом 1 / 3 всего керосина и после этого в резервуаре осталось 8 т керосина. Сколько керосина было в резервуаре первоначально?
2) Велосипедисты вели гонку в течение трёх дней. В первый день они проехали 4 / 15 всего пути, во второй - 2 / 5 , а в третий день оставшиеся 100 км. Какой путь проехали велосипедисты за три дня?
505. 1) Ледокол три дня пробивался через ледяное поле. В первый день он прошел 1 / 2 всего пути, во второй день 3 / 5 оставшегося пути и в третий день остальные 24 км. Найти длину пути, пройденного ледоколом за три дня.
2) Три отряда школьников производили посадку деревьев по озеленению села. Первый отряд посадил 7 / 20 всех деревьев, второй 5 / 8 оставшихся деревьев, а третий остальные 195 деревьев. Сколько всего деревьев посадили три отряда?
506. 1) Комбайнер убрал урожай пшеницы с одного участка за три дня. В первый день он убрал урожай с 5 / 18 всей площади участка, во второй день с 7 / 13 оставшейся площади и в третий день - с остальной площади в 30 1 / 2 га. В среднем с каждого гектара собрано 20 ц пшеницы. Сколько пшеницы было собрано на всём участке?
2) Участники автопробега в первый день прошли 3 / 11 всего пути, во второй день 7 / 20 оставшегося пути, в третий день 5 / 13 нового остатка, а в четвёртый день-остальные 320 км. Как велик путь автопробега?
507. 1) Автомобиль прошёл в первый день 3 / 8 всего пути, во второй 15 / 17 того, что прошел в первый, и в третий день остальные 200 км. Сколько бензина было израсходовано, если на 10 км пути автомобиль расходует 1 3 / 5 кг бензина?
2) Город состоит из четырёх районов. И первом районе живёт 4 / 13 всех жителей города, во втором 5 / 6 числа жителей первого района, в третьем 4 / 11 числа жителей первых; двух районов вместе взятых, а в четвёртом районе живет 18 тысяч человек. Сколько хлеба требуется всему населению города на 3 дня, если в среднем один человек потребляет 500 г в день?
508. 1) Турист прошёл в первый день 10 / 31 всего пути, во второй 9 / 10 того, что прошёл в первый день, а в третий остальную часть пути, причём в третий день он прошёл на 12 км больше, чем во второй день. Сколько километров прошёл турист в каждый из трёх дней?
2) Весь путь от города А до города Б автомобиль прошёл за три дня. В первый день автомобиль прошёл 7 / 20 всего пути, во второй 8 / 13 оставшегося пути, а в третий день автомобиль прошёл на 72 км меньше, чем в первый день. Каково расстояние между городами А и Б?
509. 1) Исполком отвёл землю рабочим трёх заводов под садовые участки. Первому заводу было отведено 9 / 25 всего количества участков, второму заводу 5 / 9 числа участков, отведённых для первого, а третьему - остальные участки. Сколько всего участков было отведено рабочим трёх заводов, если первому заводу было отведено на 50 участков меньше, чем третьему?
2) Самолёт доставил смену зимовщиков на полярную станцию из Москвы за три дня. В первый день он пролетел 2 / 5 всего пути, во второй - 5 / 6 пути, пройденного им за первый день, а в третий день он пролетел на 500 км меньше, чем во второй день. Какое расстояние пролетел самолёт за три дня?
510. 1) Завод имел три цеха. Число рабочих первого цеха составляет 2 / 5 всех рабочих завода; во втором цехе рабочих в 1 1 / 2 раза меньше, чем в первом, а в третьем цехе на 100 рабочих больше, чем во втором. Сколько всего рабочих на заводе?
2) В колхоз входят жители трёх соседних сёл. Число семей первого села составляет 3 / 10 всех семей колхоза; во втором селе число семей в 1 1 / 2 раза больше, чем в первом, а в третьем селе число семей на 420 меньше, чем во втором. Сколько всего семей в колхозе?
511. 1) Артель израсходовала в первую неделю 1 / 3 имевшегося у неё запаса сырья, а во вторую 1 / 3 остатка. Сколько сырья осталось в артели, если в первую неделю расход сырья был на 3 / 5 т больше, чем во вторую неделю?
2) Из завезённого угля для отопления дома в первый месяц было израсходовано 1 / 6 его часть, а во второй месяц - 3 / 8 остатка. Сколько угля осталось для отопления дома, если во второй месяц было израсходовано на 1 3 / 4 больше, чем в первый месяц?
512. 3 / 5 всей земли колхоза отведено под посев зерна, 13 / 36 остатка занято огородами и лугом, остальная земля - лесом, причём посевная площадь колхоза на 217 га больше площади леса, 1 / 3 земли, отведенной под посевы зерна, засеяна рожью, а остальная-пшеницей. Сколько гектаров земли засеял колхоз пшеницей и сколько рожью?
513. 1) Трамвайный маршрут имеет в длину 14 3 / 8 км. На протяжении этого маршрута трамвай делает 18 остановок, затрачивая в среднем на каждую остановку до 1 1 / 6 мин. Средняя скорость движения трамвая на всём маршруте 12 1 / 2 км в час. Сколько времени требуется трамваю для совершения одного рейса?
2) Маршрут автобуса 16 км. На протяжении этого маршрута автобус делает 36 остановок по 3 / 4 мин. в среднем каждая. Средняя скорость автобуса 30 км в час. Сколько времени требуется автобусу на один маршрут?
514*. 1) Сейчас 6 час. вечера. Какую часть составляет оставшаяся часть суток от прошедшей и какая часть суток осталась?
2) Пароход по течению проходит расстояние между двумя городами за 3 сут. и обратно это же расстояние за 4 сут. Сколько суток будут плыть по течению плоты от одного города до другого?
515. 1) Сколько досок пойдёт на настилку пола в комнате, длина которой 6 2 / 3 м, ширин.ч 5 1 / 4 м, если длина каждой доски 6 2 / 3 м, а ее ширина составляет 3 / 80 длины?
2) Площадка прямоугольной формы имеет длину 45 1 / 2 м, а её ширина составляет 5 / 13 длины. Эту площадку окаймляет дорожка шириной 4 / 5 м. Найти площадь дорожки.
516. Найти среднее арифметическое чисел:
517. 1) Среднее арифметическое двух чисел 6 1 / 6 . Одно из чисел 3 3 / 4 . Найти другое число.
2) Среднее арифметическое двух чисел 14 1 / 4 . Одно из этих чисел 15 5 / 6 . Найти другое число.
518. 1) Товарный поезд был в пути три часа. За первый час он прошёл 36 1 / 2 км, за второй 40 км и за третий 39 3 / 4 км. Найти среднюю скорость поезда.
2) Автомобиль за первых два часа прошёл 81 1 / 2 км, а за следующие 2 1 / 2 часа 95 км. Сколько километров в среднем он проходил в час?
519. 1) Тракторист выполнил задание по вспашке земли за три дня. В первый день он вспахал 12 1 / 2 га, во второй день 15 3 / 4 га и в третий день 14 1 / 2 га. Сколько в среднем гектаров земли вспахал тракторист за день?
2) Отряд школьников, совершая туристский трёхдневный поход, находился в пути в первый день 6 1 / 3 часа, во второй 7 час. и в третий день - 4 2 / 3 часа. Сколько часов в среднем находились ежедневно в пути школьники?
520. 1) В доме живут три семьи. Первая семья для освещения квартиры имеет 3 электрические лампочки, вторая 4 и третья 5 лампочек. Сколько должна заплатить каждая семья за электроэнергию, если все лампы были одинаковы, а общий счет (на весь дом) оплаты электроэнергии был 7 1 / 5 руб.?
2) Полотёр натирал полы в квартире, где жили три семьи. Первая семья имела жилую площадь в 36 1 / 2 кв. м, вторая в 24 1 / 2 кв. м, а третья - в 43 кв. м. За всю работу было уплачено 2 руб. 08 коп. Сколько уплатила каждая семья?
521. 1) На огородном участке собрано картофеля с 50 кустов по 1 1 / 10 кг с одного куста, с 70 кустов по 4 / 5 кг с одного куста, с 80 кустов по 9 / 10 кг с одного куста. Сколько килограммов картофеля в среднем собрано с каждого куста?
2) Полеводческая бригада на площади в 300 га получила урожай по 20 1 / 2 ц озимой пшеницы с 1 га, с 80 га по 24 ц с 1 га и с 20 га - по 28 1 / 2 ц с 1 га. Чему равен средний урожай в бригаде с 1 га?
522. 1) Сумма двух чисел 7 1 / 2 . Одно число больше другого нa 4 4 / 5 . Найти эти числа.
2) Если сложить числа, выражающие ширину Татарского и ширину Керченского проливов вместе, то получим 11 7 / 10 км. Татарский пролив на 3 1 / 10 км шире Керченского. Какова ширина каждого пролива?
523. 1) Сумма трёх чисел 35 2 / 3 . Первое число больше второго на 5 1 / 3 и больше третьего на 3 5 / 6 . Найти эти числа.
2) Острова Новая Земля, Сахалин и Северная Земля вместе занимают площадь 196 7 / 10 тыс. кв. км. Площадь Новой Земли на 44 1 / 10 тыс. кв. км больше площади Северной Земли и на 5 1 / 5 тыс. кв. км больше площади Сахалина. Какова площадь каждого из перечисленных островов?
524. 1) Квартира состоит из трех комнат. Площадь первой комнаты 24 3 / 8 кв. м и составляет 13 / 36 всей площади квартиры. Площадь второй комнаты на 8 1 / 8 кв. м больше, чем площадь третьей. Какова площадь второй комнаты?
2) Велосипедист во время трёхдневных соревнований в первый день был в пути 3 1 / 4 часа, что составляло 13 / 43 всего времени в пути. Во второй день он ехал на 1 1 / 2 часа больше, чем в третий день. Сколько часов велосипедист был в пути во второй день соревнований?
525. Три куска железа весят вместе 17 1 / 4 кг. Если вес первого куска уменьшить на 1 1 / 2 кг, вес второго на 2 1 / 4 кг, то все три куска будут иметь одинаковый вес. Сколько весил каждый кусок железа?
526. 1) Сумма двух чисел 15 1 / 5 . Если первое число уменьшить на 3 1 / 10 , а второе увеличить на 3 1 / 10 , то эти числа будут равны. Чему равно каждое число?
2) В двух ящиках было 38 1 / 4 кг крупы. Если из одного ящика пересыпать в другой 4 3 / 4 кг крупы, то в обоих ящиках станет крупы поровну. Сколько крупы в каждом ящике?
527 . 1) Сумма двух чисел равна 17 17 / 30 . Если от первого числа вычесть 5 1 / 2 и прибавить ко второму, то первое будет всё-таки больше второго на 2 17 / 30 . Найти оба числа.
2) В двух ящиках 24 1 / 4 кг яблок. Если из первого ящика переложить во второй 3 1 / 2 кг, то в первом всё-таки будет яблок на 3 / 5 кг больше, чем во втором. Сколько килограммов яблок в каждом ящике?
528 *. 1) Сумма двух чисел 8 11 / 14 , а разность их 2 3 / 7 . Найти эти числа.
2) Катер по течению реки шёл со скоростью 15 1 / 2 км в час, а против течения 8 1 / 4 км в час. Какова скорость течения реки?
529. 1) В двух гаражах 110 машин, причём в одном из них в 1 1 / 5 раза больше, чем в другом. Сколько машин в каждом гараже?
2) Жилая площадь квартиры, состоящей из двух комнат, равна 47 1 / 2 кв. м. Площадь одной комнаты составляет 8 / 11 площади другой. Найти площадь каждой комнаты.
530. 1) Сплав, состоящий из меди и серебра, весит 330 г. Вес меди в этом сплаве составляет 5 / 28 веса серебра. Сколько в сплаве серебра и сколько меди?
2) Сумма двух чисел 6 3 / 4 , а частное 3 1 / 2 . Найти эти числа.
531. Сумма трёх чисел 22 1 / 2 . Второе число в 3 1 / 2 раза, а третье в 2 1 / 4 раза больше первого. Найти эти числа.
532. 1) Разность двух чисел 7; частное от деления большего числа на меньшее 5 2 / 3 . Найти эти числа.
2) Разность двух чисел 29 3 / 8 , а кратное отношение их равно 8 5 / 6 . Найти эти числа.
533. В классе число отсутствующих учеников равно 3 / 13 числа присутствующих. Сколько учеников в классе по списку, если присутствует на 20 человек больше, чем отсутствует?
534. 1) Разность двух чисел 3 1 / 5 . Одно число составляет 5 / 7 другого. Найти эти числа.
2) Отец старше сына на 24 года. Число лет сына равно 5 / 13 числа лет отца. Сколько лет отцу и сколько сыну?
535. Знаменатель дроби на 11 единиц больше её числителя. Чему равна дробь, если её знаменатель в 3 3 / 4 раза больше числителя?
№ 536 - 537 устно.
536. 1) Первое число составляет 1 / 2 второго. Во сколько раз второе число больше первого?
2) Первое число составляет 3 / 2 второго. Какую часть первого числа составляет второе число?
537. 1) 1 / 2 первого числа равна 1 / 3 второго числа. Какую часть первого числа составляет второе число?
2) 2 / 3 первого числа равны 3 / 4 второго числа. Какую часть первого числа составляет второе число? Какую часть второго числа составляет первое?
538. 1) Сумма двух чисел равна 16. Найти эти числа, если 1 / 3 второго числа равна 1 / 5 первого.
2) Сумма двух чисел равна 38. Найти эти числа, если 2 / 3 первого числа равны 3 / 5 второго.
539 *. 1) Два мальчика собрали вместе 100 грибов. 3 / 8 числа грибов, собранных первым мальчиком, численно равны 1 / 4 числа грибов, собранных вторым мальчиком. Сколько грибов собрал каждый мальчик?
2) В учреждении работает 27 человек. Сколько работает мужчин и сколько женщин, если 2 / 5 числа всех мужчин равны 3 / 5 числа всех женщин?
540 *. Три мальчика купили волейбольный мяч. Определить взнос каждого мальчика, зная, что 1 / 2 взноса первого мальчика равна 1 / 3 взноса второго, или 1 / 4 взноса третьего, и что взнос третьего мальчика больше взноса первого на 64 коп.
541 *. 1) Одно число больше другого на 6. Найти эти числа, если 2 / 5 одного числа равны 2 / 3 другого.
2) Разность двух чисел равна 35. Найти эти числа, если 1 / 3 первого числа равна 3 / 4 второго числа.
542. 1) Первая бригада может выполнить некоторую работу за 36 дней, а вторая за 45 дней. За сколько дней обе бригады, работая вместе, выполнят эту работу?
2) Пассажирский поезд проходит расстояние между двумя городами за 10 час, а товарный это расстояние проходит за 15 час. Оба поезда вышли одновременно из этих городов навстречу друг другу. Через сколько часов они встретятся?
543. 1) Скорый поезд проходит расстояние между двумя городами за 6 1 / 4 часа, а пассажирский за 7 1 / 2 часа. Через сколько часов встретятся эти поезда, если они выйдут из обоих городов одновременно навстречу друг другу? (Ответ округлить с точностью до 1 часа.)
2) Два мотоциклиста выехали одновременно из двух городов навстречу друг другу. Один мотоциклист может проехать всё расстояние между этими городами за 6 час, а другой за 5 час. Через сколько часов после выезда встретятся мотоциклисты? (Ответ округлить с точностью до 1 часа.)
544. 1) Три автомобиля различной грузоподъёмности могут перевезти некоторый груз, работая отдельно: первый за 10 час, второй за 12 час. и третий за 15 час За сколько часов они могут перевезти тот же груз, работая совместно?
2) Из двух станций выходят одновременно навстречу друг другу два поезда: первый поезд проходит расстояние между этими станциями за 12 1 / 2 часа, а второй за 18 3 / 4 часа. Через сколько часов после выхода поезда встретятся?
545. 1) К ванне подведены два крана. Через один из них ванна может наполниться за 12 мин., через другой в 1 1 / 2 раза быстрее. За сколько минут наполнится 5 / 6 всей ванны, если открыть сразу оба крана?
2) Две машинистки должны перепечатать рукопись. Первая ашинистка может выполнить эту работу зa 3 1 / 3 дня, а вторая в 1 1 / 2 раза быстрее. Во сколько дней выполнят работу обе машинистки, если они будут работать одновременно?
546. 1) Бассейн наполняется первой трубой за 5 час, а через вторую трубу он может быть опорожнен за 6 час Через сколько часов будет наполнен весь бассейн, если одновременно открыть обе трубы?
Указание. За час бассейн наполняется на (1 / 5 - 1 / 6 своей ёмкости.)
2) Два трактора вспахали поле за 6 час. Первый трактор, работая один, мог бы вспахать это поле за 15 час За сколько часов вспахал бы это поле второй трактор, работая один?
547 *. Из двух станций выходят одновременно навстречу друг другу два поезда и встречаются через 18 час. после своего выхода. За сколько времени второй поезд проходит расстояние между станциями, если первый поезд проходит это расстояние за 1 сутки 21 час?
548 *. Бассейн наполняется двумя трубами. Сначала открыли первую трубу, а затем через 3 3 / 4 часа, когда наполнилась половина бассейна, открыли вторую трубу. Через 2 1 / 2 часа совместной работы бассейн наполнился. Определить вместимость бассейна, если через вторую трубу вливалось 200 вёдер воды в час.
549. 1) Из Ленинграда в Москву вышел курьерский поезд, который проходит 1 км за 3 / 4 мин. Через 1 / 2 часа после выхода этого поезда из Москвы в Ленинград вышел скорый поезд, скорость которого была равна 3 / 4 скорости курьерского. На каком расстоянии будут поезда друг от друга через 2 1 / 2 часа после выхода курьерского поезда, если расстояние между Москвой и Ленинградом 650 км?
2) От колхоза до города 24 км. Из колхоза выехала грузовая машина, которая проходит 1 км за 2 1 / 2 мин. Через 15 мин. после выезда этой машины из города в колхоз выехал велосипедист, со скоростью вдвое меньшей, чем скорость грузовой машины. Через сколько времени после своего выезда велосипедист встретится с грузовой машиной?
550. 1) Из одного селения вышел пешеход. Через 4 1 / 2 часа после выхода пешехода по тому же направлению выехал велосипедист, скорость которого в 2 1 / 2 раза больше скорости пешехода. Через сколько часов после выхода пешехода его догонит велосипедист?
2) Скорый поезд проходит 187 1 / 2 км за 3 часа, а товарный поезд 288 км за 6 час. Через 7 1 / 4 часа после выхода товарного поезда по тому же направлению отправляется скорый. Через сколько времени скорый поезд догонит товарный?
551. 1) Из двух колхозов, через которые проходит дорога в районный центр, выехали одновременно в район на лошадях два колхозника. Первый из них проезжал в час по 8 3 / 4 км, а второй в 1 1 / 7 раза больше первого. Второй колхозник нагнал первого через 3 4 / 5 часа. Определить расстояние между колхозами.
2) Через 26 1 / 3 часа после выхода поезда Москва-Владивосток, средняя скорость которого 60 км в час, вылетел по тому же направлению самолёт ТУ-104, со скоростью в 14 1 / 6 раза большей скорости поезда. Через сколько часов после своего вылета самолёт нагонит поезд?
552. 1) Расстояние между городами по реке 264 км. Это расстояние пароход прошёл по течению за 18 час, затратив 1 / 12 этого времени на остановки. Скорость течения реки 1 1 / 2 км в час. За сколько времени прошёл бы пароход без остановок 87 км в стоячей воде?
2) Моторная лодка прошла 207 км по течению реки за 13 1 / 2 часа, затратив 1 / 9 этого времени на остановки. Скорость течения реки 1 3 / 4 км в час. Сколько километров может пройти эта лодка в стоячей воде за 2 1 / 2 часа?
553. Катер по водохранилищу прошёл расстояние в 52 км без остановок за 3 часа 15 мин. Далее, идя по реке против течения, скорость которого 1 3 / 4 км в час, этот катер прошел 28 1 / 2 км за 2 1 / 4 часа, сделав при этом 3 равные по времени остановки. Сколько минут стоял катер на каждой остановке?
554. Из Ленинграда в Кронштадт в 12 час. дня вышел пароход и прошёл всё расстояние между этими городами за 1 1 / 2 часа. По дороге он встретил другой пароход, вышедший из Кронштадта в Ленинград в 12 час 18 мин. и шедший со скоростью в 1 1 / 4 раза большей, чем первый. В котором часу произошла встреча обоих пароходов?
555. Поезд должен был пройти расстояние в 630 км за 14 час. Пройдя 2 / 3 этого расстояния, он был задержан на 1 час 10 мин. С какой скоростью он должен продолжать путь, чтобы прийти к месту назначения без опоздания?
556. В 4 часа 20 мин. утра из Киева в Одессу вышел товарный поезд со средней скоростью 31 1 / 5 км в час. Через некоторое время навстречу ему из Одессы вышел почтовый поезд, скорость которого в 1 17 / 39 Раза больше скорости товарного, ивстретился с товарным поездом через 6 1 / 2 часа после своего выхода. В котором часу вышел из Одессы почтовый поезд, если расстояние между Киевом и Одессой 663 км?
557*. Часы показывают полдень. Через сколько времени часовая и минутная стрелки совпадут?
558. 1) Завод имеет три цеха. Число, рабочих первого цеха составляет 9 / 20 всех рабочих завода, во втором цехе рабочих в 1 1 / 2 раза меньше, чем в первом, а в третьем цехе на 300 рабочих меньше, чем во втором. Сколько всего рабочих на заводе?
2) В городе три средние школы. Число учащихся первой школы составляет 3 / 10 всех учащихся этих трех школ; во второй школе учащихся в 1 1 / 2 раза больше, чем в первой, а в третьей школе на 420 учащихся меньше, чем во второй. Сколько всего учащихся в трёх школах?
559. 1) Два комбайнера работали на одном участке. После того как один комбайнер убрал 9 / 16 всего участка, а второй 3 / 8 того же участка, оказалось, что первый комбайнер убрал на 97 1 / 2 га больше, чем второй. В среднем с каждого гектара намолачивали по 32 1 / 2 ц зерна. Сколько центнеров зерна намолотил каждый комбайнер?
2) Два брата купили фотоаппарат. У одного было 5 / 8 , а у второго 4 / 7 стоимости фотоаппарата, причём у первого было на 2 руб. 25 коп. больше, чем у второго. Каждый уплатил половину стоимости аппарата. Сколько денег осталось у каждого?
560. 1) Из города А в город Б, расстояние между которыми 215 км, вышел легковой автомобиль со скоростью 50 км в час. Одновременно с ним из города Б в город А вышел грузовой автомобиль. Сколько километров прошёл легковой автомобиль до встречи с грузовым, если скорость движения грузового в час составляла 18 / 25 скорости легкового автомобиля?
2) Между городами А и Б 210 км. Из города А в город Б вышла легковая машина. Одновременно с ней из города Б в город А вышла грузовая машина. Сколько километров прошла грузовая машина до встречи с легковой, если легковая машина шла со скоростью 48 км в час, а скорость грузовой машины в час составляла 3 / 4 от скорости легковой машины?
561. Колхоз собрал урожай пшеницы и ржи. Пшеницей было засеяно на 20 га больше, чем рожью. Общий сбор ржи составил 5 / 6 всего сбора пшеницы при урожайности в 20 ц с 1 га как для пшеницы, так и для ржи. 7 / 11 всего сбора пшеницы и ржи колхоз продал государству, а остальной хлеб оставил для удовлетворения своих нужд. Сколько потребовалось совершить рейсов двухтонным машинам для вывоза проданного государству хлеба?
562. На хлебозавод привезли ржаную и пшеничную муку. Вес пшеничной муки составил 3 / 5 веса ржаной муки, причём ржаной муки было привезено на 4 т больше, чем пшеничной. Сколько пшеничного и сколько ржаного хлеба будет выпечено хлебозаводом из этой муки, если припёк составляет 2 / 5 всей муки?
563. В течение трёх дней бригада рабочих выполнила 3 / 4 всей работы по ремонту шоссе между двумя колхозами. В первый день было отремонтировано 2 2 / 5 км этого шоссе, во второй день в 1 1 / 2 раза больше, чем в первый, а в третий день 5 / 8 того, что было отремонтировано в первые два дня вместе. Найти длину шоссе между колхозами.
564. Заполнить свободные места в таблице, где S - площадь прямоугольника, а - основание прямоугольника, a h -высота (ширина) прямоугольника.
565. 1) Длина прямоугольного участка земли 120 м, а ширина участка - 2 / 5 его длины. Найти периметр и площадь участка.
2) Ширина прямоугольного участка 250 м, а длина его в 1 1 / 2 раза больше ширины. Найти периметр и площадь участка.
566. 1) Периметр прямоугольника 6 1 / 2 дм, основание его на 1 / 4 дм больше высоты. Найти площадь этого прямоугольника.
2) Периметр прямоугольника 18 см, высота его на 2 1 / 2 см меньше основания. Найти площадь прямоугольника.
567. Вычислить площади фигур, изображённых на рисунке 30, разбив их на прямоугольники и найдя измерением размеры прямоугольника.
568. 1) Сколько листов сухой штукатурки потребуется для обивки потолка комнаты, длина которой 4 1 / 2 м, а ширина 4 м, если размеры листа штукатурки 2 м х l 1 / 2 м?
2) Сколько досок длиной в 4 1 / 2 л и шириной в 1 / 4 м потребуется для настила пола, длина которого 4 1 / 2 м, а ширина 3 1 / 2 м?
569. 1) Участок прямоугольной формы длиной 560 м, а шириной 3 / 4 его длины, засеяли фасолью. Сколько семян потребовалось для засева участка, если на 1 га высевали 1 ц?
2) С поля прямоугольной формы собрали урожай пшеницы по 25 ц с 1 га. Сколько было собрано пшеницы со всего поля, если длина поля 800 м, а ширина равна 3 / 8 его длины?
570 . 1) Прямоугольный участок земли, имеющий в длину 78 3 / 4 м и в ширину 56 4 / 5 м, застроен так, что 4 / 5 его площади занято строениями. Определить площадь земли под строениями.
2) На прямоугольном участке земли, длина которого 9 / 20 км, а ширина составляет 4 / 9 его длины, колхоз предполагает разбить сад. Сколько деревьев будет посажено в этом саду, если под каждое дерево в среднем нужно отвести площадь в 36 кв.м?
571. 1) Для нормального освещения дневным светом комнаты необходимо, чтобы площадь всех окон была не менее 1 / 5 части площади пола. Определить, достаточно ли света в комнате, длина которой 5 1 / 2 м и ширина 4 м. Комната имеет одно окно размером 1 1 / 2 м х 2м?
2) Используя условие предыдущей задачи, выясните, достаточно ли света в вашем классе.
572. 1) Сарай имеет размеры 5 1 / 2 м х 4 1 / 2 м х 2 1 / 2 м. Сколько сена (по весу) поместится в этом сарае, если его наполнить на 3 / 4 его высоты и если 1 куб. м сена весит 82 кг?
2) Поленница дров имеет форму прямоугольного параллелепипеда, размеры которого 2 1 / 2 м х 3 1 / 2 м х 1 1 / 2 м. Каков вес поленницы, если 1 куб. м дров весит 600 кг?
573. 1) Аквариум прямоугольной формы наполнен водой до 3 / 5 высоты. Длина аквариума 1 1 / 2 м, ширина 4 / 5 м, высота 3 / 4 м. Сколько литров воды налито в аквариум?
2) Бассейн, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, имеет длину 6 1 / 2 м, ширину 4м и высоту 2 м. Бассейн наполнен водой до 3 / 4 его высоты. Вычислить количество воды, налитой в бассейн.
574. Вокруг прямоугольного участка земли, длина которого 75 м и ширина 45 м, надо построить забор. Сколько кубометров досок должно пойти на его устройство, если толщина доски 2 1 / 2 см, а высота забора должна быть 2 1 / 4 м?
575. 1) Какой угол составляет минутная и часовая стрелка в 13 час? в 15 час? в 17 час? в 21 час? в 23 часа 30 мин.?
2) На сколько градусов повернётся часовая стрелка за 2 часа? 5 час? 8 час? 30 мин.?
3) Сколько градусов содержит дуга, равная половине окружности? 1 / 4 окружности? 1 / 24 окружности? 5 / 24 окружности?
576. 1) Начертите с помощью транспортира: а) прямой угол; б) угол в 30°; в) угол в 60°; г) угол в 150°; д) угол в 55°.
2) Измерьте с помощью транспортира углы фигуры и найдите сумму всех углов каждой фигуры (рис. 31).
577. Выполнить действия:
578. 1) Полуокружность разделена на две дуги, из которых одна на 100° больше другой. Найти величину каждой дуги.
2) Полуокружность разделена на две дуги, из которых одна на 15° меньше другой. Найти величину каждой дуги.
3) Полуокружность разделена на две дуги, из которых одна в два раза больше другой. Найти величину каждой дуги.
4) Полуокружность разделена на две дуги, из которых одна в 5 раз меньше другой. Найти величину каждой дуги.
579. 1) На диаграмме «Грамотность населения в СССР» (рис. 32) изображено число грамотных, приходящихся на сто человек населения. По данным диаграммы и её масштабу определить число грамотных мужчин и женщин для каждого из указанных годов.
Результаты записать в таблицу:
2) Используя данные диаграммы «Советские посланцы в Космос» (рис. 33), составить задачи.
580. 1) По данным секторной диаграммы «Режим дня для ученика V класса» (рис. 34) заполнить таблицу и ответить на вопросы: какая часть суток отводится на сон? на домашние занятия? на занятия в школе?
2) Построить секторную диаграмму о режиме своего дня.
Чтобы выразить часть в долях целого, нужно часть разделить на целое.
Задача 1. В классе 30 учащихся, отсутствуют четверо. Какая часть учащихся отсутствует?
Решение:
Ответ: в классе отсутствует учащихся.
Нахождение дроби от числа
Для решения задач, в которых требуется найти часть целого справедливо следующее правило:
Если часть целого выражена дробью, то чтобы найти эту часть, можно целое разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель.
Задача 1. Было 600 рублей, этой суммы истратили. Сколько денег истратили?
Решение: чтобы найти от 600 рублей, надо эту сумму разделить на 4 части, тем самым мы узнаем, сколько денег составляет одна четвёртая часть:
600: 4 = 150 (р.)
Ответ: истратили 150 рублей.
Задача 2. Было 1000 рублей, этой суммы истратили. Сколько денег было истрачено?
Решение: из условия задачи мы знаем, что 1000 рублей состоит из пяти равных частей. Сначала найдём сколько рублей составляет одна пятая часть от 1000, а затем узнаем сколько рублей составляют две пятых:
1) 1000: 5 = 200 (р.) - одна пятая часть.
2) 200 · 2 = 400 (р.) - две пятых части.
Эти два действия можно объединить: 1000: 5 · 2 = 400 (р.).
Ответ: было истрачено 400 рублей.
Второй способ нахождения части целого:
Чтобы найти часть целого, можно умножить целое на дробь, выражающую эту часть целого.
Задача 3. По уставу кооператива, для правомочности отчётного собрания на нём должно присутствовать не менее членов организации. В кооперативе 120 членов. При каком составе может состояться отчётное собрание?
Решение:
Ответ: отчётное собрание может состояться при наличии 80 членов организации.
Нахождение числа по его дроби
Для решения задач, в которых требуется найти целое по его части справедливо следующее правило:
Если часть искомого целого выражена дробью, то чтобы найти это целое, можно данную часть разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель.
Задача 1. Потратили 50 рублей, это составило от первоначальной суммы. Найдите первоначальную сумму денег.
Решение: из описания задачи мы видим, что 50 рублей в 6 раз меньше первоначальной суммы, т. е. первоначальная сумма в 6 раз больше, чем 50 рублей. Чтобы найти эту сумму, надо 50 умножить на 6:
50 · 6 = 300 (р.)
Ответ: первоначальная сумма - 300 рублей.
Задача 2. Потратили 600 рублей, это составило от первоначальной суммы денег. Найдите первоначальную сумму.
Решение: будем считать, что искомое число состоит из трёх третьих долей. По условию две трети числа равны 600 рублей. Сначала найдём одну треть от первоначальной суммы, а затем сколько рублей составляют три третьих (первоначальная сумма):
1) 600: 2 · 3 = 900 (р.)
Ответ: первоначальная сумма - 900 рублей.
Второй способ нахождения целого по его части:
Чтобы найти целое по величине выражающей его часть, можно разделить эту величину на дробь, выражающую данную часть.
Задача 3. Отрезок AB , равный 42 см, составляет длины отрезка CD . Найти длину отрезка CD .
Решение:
Ответ: длина отрезка CD 70 см.
Задача 4. В магазин привезли арбузы. До обеда магазин продал , после обеда - привезённых арбузов, и осталось продать 80 арбузов. Сколько всего арбузов привезли в магазин?
Решение: сначала узнаем, какую часть от привезённых арбузов составляет число 80. Для этого примем за единицу общее количество привезённых арбузов и вычтем из неё то количество арбузов, которое получилось реализовать (продать):
И так, мы узнали, что 80 арбузов составляет от общего количества привезённых арбузов. Теперь узнаем сколько арбузов от общего количества составляет , а затем сколько арбузов составляют (количество привезённых арбузов):
2) 80: 4 · 15 = 300 (арбузов)
Ответ: всего в магазин привезли 300 арбузов.
Теперь, когда мы научились складывать и умножать отдельные дроби, можно рассматривать более сложные конструкции. Например, что, если в одной задаче встречается и сложение, и вычитание, и умножение дробей?
В первую очередь, надо перевести все дроби в неправильные. Затем последовательно выполняем требуемые действия - в том же порядке, как и для обычных чисел. А именно:
- Сначала выполняется возведение в степень - избавьтесь от всех выражений, содержащих показатели;
- Затем - деление и умножение;
- Последним шагом выполняется сложение и вычитание.
Разумеется, если в выражении присутствуют скобки, порядок действий изменяется - все, что стоит внутри скобок, надо считать в первую очередь. И помните о неправильных дробях: выделять целую часть надо лишь тогда, когда все остальные действия уже выполнены.
Переведем все дроби из первого выражения в неправильные, а затем выполним действия:
Теперь найдем значение второго выражения. Тут дробей с целой частью нет, но есть скобки, поэтому сначала выполняем сложение, и лишь затем - деление. Заметим, что 14 = 7 · 2 . Тогда:
Наконец, считаем третий пример. Здесь есть скобки и степень - их лучше считать отдельно. Учитывая, что 9 = 3 · 3 , имеем:
Обратите внимание на последний пример. Чтобы возвести дробь в степень, надо отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно - знаменатель.
Можно решать по-другому. Если вспомнить определение степени, задача сведется к обычному умножению дробей:
Многоэтажные дроби
До сих пор мы рассматривали лишь «чистые» дроби, когда числитель и знаменатель представляют собой обыкновенные числа. Это вполне соответствует определению числовой дроби, данному в самом первом уроке.
Но что, если в числителе или знаменателе разместить более сложный объект? Например, другую числовую дробь? Такие конструкции возникают довольно часто, особенно при работе с длинными выражениями. Вот пара примеров:
Правило работы с многоэтажными дробями всего одно: от них надо немедленно избавляться. Удалить «лишние» этажи довольно просто, если вспомнить, что дробная черта означает стандартную операцию деления. Поэтому любую дробь можно переписать следующим образом:
Пользуясь этим фактом и соблюдая порядок действий, мы легко сведем любую многоэтажную дробь к обычной. Взгляните на примеры:
Задача. Переведите многоэтажные дроби в обычные:
В каждом случае перепишем основную дробь, заменив разделительную черту знаком деления. Также вспомним, что любое целое число представимо в виде дроби со знаменателем 1. Т.е. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Получаем:
В последнем примере перед окончательным умножением дроби были сокращены.
Специфика работы с многоэтажными дробями
В многоэтажных дробях есть одна тонкость, которую всегда надо помнить, иначе можно получить неверный ответ, даже если все вычисления были правильными. Взгляните:
- В числителе стоит отдельное число 7, а в знаменателе - дробь 12/5;
- В числителе стоит дробь 7/12, а в знаменателе - отдельное число 5.
Итак, для одной записи получили две совершенно разных интерпретации. Если подсчитать, ответы тоже будут разными:
Чтобы запись всегда читалась однозначно, используйте простое правило: разделяющая черта основной дроби должна быть длиннее, чем черта вложенной. Желательно - в несколько раз.
Если следовать этому правилу, то приведенные выше дроби надо записать так:
Да, возможно, это некрасиво и занимает слишком много места. Зато вы будете считать правильно. Напоследок - пара примеров, где действительно возникают многоэтажные дроби:
Задача. Найдите значения выражений:
Итак, работаем с первым примером. Переведем все дроби в неправильные, а затем выполним операции сложения и деления:
Аналогично поступим со вторым примером. Переведем все дроби в неправильные и выполним требуемые операции. Чтобы не утомлять читателя, я опущу некоторые очевидные выкладки. Имеем:
Благодаря тому, что в числителе и знаменателе основных дробей стоят суммы, правило записи многоэтажных дробей соблюдается автоматически. Кроме того, в последнем примере мы намеренно оставили число 46/1 в форме дроби, чтобы выполнить деление.
Также отмечу, что в обоих примерах дробная черта фактически заменяет скобки: первым делом мы находили сумму, и лишь затем - частное.
Кто-то скажет, что переход к неправильным дробям во втором примере был явно избыточным. Возможно, так оно и есть. Но этим мы страхуем себя от ошибок, ведь в следующий раз пример может оказаться намного сложнее. Выбирайте сами, что важнее: скорость или надежность.
В статье покажем, как решать дроби на простых понятных примерах. Разберемся, что такое дробь и рассмотрим решение дробей !
Понятие дроби вводится в курс математики начиная с 6 класса средней школы.
Дроби имеют вид: ±X/Y, где Y - знаменатель, он сообщает на сколько частей разделили целое, а X - числитель, он сообщает, сколько таких частей взяли. Для наглядности возьмем пример с тортом:
В первом случае торт разрезали поровну и взяли одну половину, т.е. 1/2. Во втором случае торт разрезали на 7 частей, из которых взяли 4 части, т.е. 4/7.
Если часть от деления одного числа на другое не является целым числом, ее записывают в виде дроби.
Например, выражение 4:2 = 2 дает целое число, а вот 4:7 нацело не делится, поэтому такое выражение записывается в виде дроби 4/7.
Иными словами дробь - это выражение, которое обозначает деление двух чисел или выражений, и которое записывается с помощью дробной черты.
Если числитель меньше знаменателя - дробь является правильной, если наоборот - неправильной. В состав дроби может входить целое число.
Например, 5 целых 3/4.
Данная запись означает, что для того, чтобы получить целую 6 не хватает одной части от четырех.
Если вы хотите запомнить, как решать дроби за 6 класс , вам надо понять, что решение дробей , в основном, сводится к понимаю нескольких простых вещей.
- Дробь по сути это выражение доли. То есть числовое выражение того, какую часть составляет данное значение от одного целого. К примеру дробь 3/5 выражает, что, если мы поделили что то целое на 5 частей и количество долей или частей это этого целого - три.
- Дробь может быть меньше 1, например 1/2(или по сути половина), тогда она правильная. Если дробь больше 1, к примеру 3/2(три половины или один с половиной), то она неправильная и для упрощения решения, нам лучше выделить целую часть 3/2= 1 целая 1/2.
- Дроби это такие же числа, как 1, 3, 10, и даже 100, только числа это не целые а дробные. С ними можно выполнять все те же операции, что с числами. Считать дроби не сложнее, и далее на конкретных примерах мы это покажем.
Как решать дроби. Примеры.
К дробям применимы самые разные арифметические операции.
Приведение дроби к общему знаменателю
Например, необходимо сравнить дроби 3/4 и 4/5.
Чтобы решить задачу, сначала найдем наименьший общий знаменатель, т.е. наименьшее число, которое делится без остатка на каждый из знаменателей дробей
Наименьший общий знаменатель(4,5) = 20
Затем знаменатель обоих дробей приводится к наименьшему общему знаменателю
Ответ: 15/20
Сложение и вычитание дробей
Если необходимо посчитать сумму двух дробей, их сначала приводят к общему знаменателю, затем складывают числители, при этом знаменатель останется без изменений. Разность дробей считается аналогичным образом, различие лишь в том, что числители вычитаются.
Например, необходимо найти сумму дробей 1/2 и 1/3
Теперь найдем разность дробей 1/2 и 1/4
Умножение и деление дробей
Тут решение дробей несложное, здесь все достаточно просто:
- Умножение - числители и знаменатели дробей перемножаются между собой;
- Деление - сперва получаем дробь, обратную второй дроби, т.е. меняем местами ее числитель и знаменатель, после чего полученные дроби перемножаем.
Например:
На этом о том, как решать дроби , всё. Если у вас остались какие то вопросы по решению дробей , что то непонятно, то пишите в комментарии и мы обязательно вам ответим.
Если вы учитель, то возможно скачать презентацию для начальной школы (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) будет вам кстати.
Одной из важнейших наук, применение которой можно увидеть в таких дисциплинах, как химия, физика и даже биология, является математика. Изучение этой науки позволяет развить некоторые умственные качества, улучшить и способность концентрироваться. Одна из тем, которые заслуживают отдельного внимания в курсе «Математика» - сложение и вычитание дробей. У многих учеников ее изучение вызывает затруднение. Возможно, наша статья поможет лучше понять эту тему.
Как вычесть дроби, знаменатели которых одинаковые
Дроби - это те же числа, с которыми можно производить различные действия. Их отличие от целых чисел заключается в присутствии знаменателя. Именно поэтому при выполнении действий с дробями нужно изучить некоторые их особенности и правила. Наиболее простым случаем является вычитание обыкновенных дробей, знаменатели которых представлены в виде одинакового числа. Выполнить это действие не составит особого труда, если знать простое правило:
- Для того чтобы из одной дроби вычесть вторую, необходимо из числителя уменьшаемой дроби вычесть числитель вычитаемой дроби. Это число записываем в числитель разницы, а знаменатель оставляем тот же: k/m - b/m = (k-b)/m.
Примеры вычитания дробей, знаменатели которых одинаковы
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
От числителя уменьшаемой дроби «7» отнимаем числитель вычитаемой дроби «3», получаем «4». Это число мы записываем в числитель ответа, а в знаменатель ставим то же число, что было в знаменателях первой и второй дроби - «19».
На картинке ниже приведено еще несколько подобных примеров.
Рассмотрим более сложный пример, где произведено вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
От числителя уменьшаемой дроби «29» отниманием по очереди числители всех последующих дробей - «3», «8», «2», «7». В итоге получаем результат «9», который записываем в числитель ответа, а в знаменатель записываем то число, которое находится в знаменателях всех этих дробей, - «47».
Сложение дробей, имеющих одинаковый знаменатель
Сложение и вычитание обыкновенных дробей осуществляется по одному и тому же принципу.
- Для того чтобы сложить дроби, знаменатели которых одинаковы, необходимо числители сложить. Полученное число - числитель суммы, а знаменатель останется тот же: k/m + b/m = (k + b)/m.
Рассмотрим, как это выглядит на примере:
1/4 + 2/4 = 3/4.
К числителю первой слагаемой дроби - «1» - добавляем числитель второй слагаемой дроби - «2». Результат - «3» - записываем в числитель суммы, а знаменатель оставляем тот же, что присутствовал в дробях, - «4».
Дроби с различными знаменателями и их вычитание
Действие с дробями, которые имеют одинаковый знаменатель, мы уже рассмотрели. Как видим, зная простые правила, решить подобные примеры достаточно легко. Но что делать, если необходимо произвести действие с дробями, которые имеют различные знаменатели? Многие учащиеся средних школ приходят в затруднение перед такими примерами. Но и здесь, если знать принцип решения, примеры уже не будут представлять для вас сложности. Здесь также существует правило, без которого решение подобных дробей просто невозможно.
- 2/3 - в знаменателе не хватает одной тройки и одной двойки:
2/3 = (2 х 3 х 2)/(3 х 3 х 2) = 12/18. - 7/9 или 7/(3 х 3) - в знаменателе не хватает двойки:
7/9 = (7 х 2)/(9 х 2) = 14/18. - 5/6 или 5/(2 х 3) - в знаменателе не хватает тройки:
5/6 = (5 х 3)/(6 х 3) = 15/18. - Число 18 состоит из 3 х 2 х 3.
- Число 15 состоит из 5 х 3.
- Общее кратное будет состоять из следующих множителей 5 х 3 х 3 х 2 = 90.
- 90 поделить на 15. Полученное число «6» будет множителем для 3/15.
- 90 поделить на 18. Полученное число «5» будет множителем для 4/18.
- Все дроби, имеющие целую часть, перевести в неправильные. Говоря простыми словами, убрать целую часть. Для этого число целой части умножаем на знаменатель дроби, полученное произведение добавляем к числителю. То число, которое получится после этих действий, - числитель неправильной дроби. Знаменатель же остается неизменным.
- Если дроби имеют различные знаменатели, следует привести их к одинаковому.
- Произвести сложение или вычитание с одинаковыми знаменателями.
- При получении неправильной дроби выделить целую часть.
Чтобы произвести вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо их привести к одинаковому наименьшему знаменателю.
О том, как это сделать, мы поговорим подробнее.
Свойство дроби
Для того чтобы несколько дробей привести к одинаковому знаменателю, нужно использовать в решении главное свойство дроби: после деления или умножения числителя и знаменателя на одинаковое число получится дробь, равная данной.
Так, например, дробь 2/3 может иметь такие знаменатели, как «6», «9», «12» и т. д., то есть она может иметь вид любого числа, которое кратно «3». После того как числитель и знаменатель мы умножим на «2», получится дробь 4/6. После того как числитель и знаменатель исходной дроби мы умножим на «3», получим 6/9, а если аналогичное действие произвести с цифрой «4», получим 8/12. Одним равенством это можно записать так:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
Как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю
Рассмотрим, как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю. Для примера возьмем дроби, приведенные на картинке ниже. Для начала необходимо определить, какое число может стать знаменателем для их всех. Для облегчения разложим имеющиеся знаменатели на множители.
Знаменатель дроби 1/2 и дроби 2/3 на множители разложить нельзя. Знаменатель 7/9 имеет два множителя 7/9 = 7/(3 х 3), знаменатель дроби 5/6 = 5/(2 х 3). Теперь необходимо определить, какие же множители будут наименьшими для всех этих четырех дробей. Так как в первой дроби в знаменателе имеется число «2», значит, оно должно присутствовать во всех знаменателях, в дроби 7/9 присутствуют две тройки, значит, они также обе должны присутствовать в знаменателе. Учитывая вышесказанное, определяем, что знаменатель состоит из трех множителей: 3, 2, 3 и равен 3 х 2 х 3 = 18.
Рассмотрим первую дробь - 1/2. В ее знаменателе имеется «2», но нет ни одной цифры «3», а должно быть две. Для этого мы знаменатель умножаем на две тройки, но, согласно свойству дроби, мы и числитель должны умножить на две тройки:
1/2 = (1 х 3 х 3)/(2 х 3 х 3) = 9/18.
Аналогично производим действия с оставшимися дробями.
Все вместе это выглядит так:
Как вычесть и сложить дроби, имеющие различные знаменатели
Как уже говорилось выше, для того чтобы произвести сложение или вычитание дробей, имеющих различные знаменатели, их необходимо привести к одному знаменателю, а дальше воспользоваться правилами вычитания дробей, имеющих одинаковый знаменатель, о котором уже рассказывалось.
Рассмотрим это на примере: 4/18 - 3/15.
Находим кратное чисел 18 и 15:
После того как знаменатель будет найден, необходимо вычислить множитель, который будет отличным для каждой дроби, то есть то число, на которое необходимо будет умножить не только знаменатель, но и числитель. Для этого число, которое мы нашли (общее кратное), делим на знаменатель той дроби, у которой нужно определить дополнительные множители.
Следующий этап нашего решения - приведение каждой дроби к знаменателю «90».
Как это делается, мы уже говорили. Рассмотрим, как это записывается в примере:
(4 х 5)/(18 х 5) - (3 х 6)/(15 х 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
Если дроби с маленькими числами, то можно общий знаменатель определить, как в примере, приведенном на картинке ниже.
Аналогично производится и имеющих различные знаменатели.
Вычитание и имеющих целые части
Вычитание дробей и их сложение мы уже детально разобрали. Но как произвести вычитание, если у дроби есть целая часть? Опять же, воспользуемся несколькими правилами:
Есть и иной способ, при помощи которого можно осуществить сложение и вычитание дробей с целыми частями. Для этого производятся отдельно действия с целыми частями, и отдельно действия с дробями, а результаты записываются вместе.
Приведенный пример состоит из дробей, которые имеют одинаковый знаменатель. В том случае, когда знаменатели различны, их необходимо привести к одинаковому, а далее выполнить действия, как показано на примере.
Вычитание дробей из целого числа
Еще одной из разновидностей действий с дробями является тот случай, когда дробь необходимо отнять от На первый взгляд подобный пример кажется трудно решаемым. Однако здесь все довольно просто. Для его решения необходимо перевести целое число в дробь, причем с таким знаменателем, который имеется в вычитаемой дроби. Далее производим вычитание, аналогичное вычитанию с одинаковыми знаменателями. На примере это выглядит так:
7 - 4/9 = (7 х 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.
Приведенное в этой статье вычитание дробей (6 класс) является основой для решения более сложных примеров, которые рассматриваются в последующих классах. Знания этой темы используются впоследствии для решения функций, производных и так далее. Поэтому очень важно разобраться и понять действия с дробями, рассматриваемые выше.
