В этой статье дан обзор свойств действий с рациональными числами . Сначала озвучены основные свойства, на которых базируются все остальные свойства. После этого даны некоторые другие часто используемые свойства действий с рациональными числами.
Навигация по странице.
Перечислим основные свойства действий с рациональными числами (a , b и c – произвольные рациональные числа):
- Переместительное свойство сложения a+b=b+a .
- Сочетательное свойство сложения (a+b)+c=a+(b+c) .
- Существование нейтрального элемента по сложению – нуля, сложение которого с любым числом не изменяет это число, то есть, a+0=a .
- Для каждого рационального числа a существует противоположное число −a такое, что a+(−a)=0 .
- Переместительное свойство умножения рациональных чисел a·b=b·a .
- Сочетательное свойство умножения (a·b)·c=a·(b·c) .
- Существование нейтрального элемента по умножению – единицы, умножение на которую любого числа не изменяет это число, то есть, a·1=a.
- Для каждого отличного от нуля рационального числа a существует обратное число a −1 такое, что a·a −1 =1 .
- Наконец, сложение и умножение рациональных чисел связаны распределительным свойством умножения относительно сложения: a·(b+c)=a·b+a·c .
Перечисленные свойства действий с рациональными числами являются основными, так как все остальные свойства могут быть получены из них.
Другие важные свойства
Помимо девяти перечисленных основных свойств действий с рациональными числами существует еще ряд очень широко используемых свойств. Дадим их краткий обзор.
Начнем со свойства, которое с помощью букв записывается как a·(−b)=−(a·b) или в силу переместительного свойства умножения как (−a)·b=−(a·b) . Из этого свойства напрямую следует правило умножения рациональных чисел с разными знаками , в указанной статье приведено и его доказательство. Указанное свойство объясняет правило «плюс умножить на минус есть минус, и минус умножить на плюс есть минус».
Вот следующее свойство: (−a)·(−b)=a·b . Из него следует правило умножения отрицательных рациональных чисел , в этой статье Вы найдете и доказательство приведенного равенства. Этому свойству отвечает правило умножения «минус умножить на минус есть плюс».
Несомненно, стоит остановиться на умножении произвольного рационального числа a на нуль: a·0=0 или 0·a=0 . Докажем это свойство. Мы знаем, что 0=d+(−d) для любого рационального d , тогда a·0=a·(d+(−d)) . Распределительное свойство позволяет полученное выражение переписать как a·d+a·(−d) , а так как a·(−d)=−(a·d) , то a·d+a·(−d)=a·d+(−(a·d)) . Так мы пришли к сумме двух противоположных чисел, равных a·d и −(a·d) , их сумма дает нуль, что и доказывает равенство a·0=0 .
Легко заметить, что выше мы перечислили только свойства сложения и умножения, при этом ни слова не сказали о свойствах вычитания и деления. Это связано с тем, что на множестве рациональных чисел действия вычитание и деление задаются как обратные к сложению и умножению соответственно. То есть, разность a−b – это есть сумма a+(−b) , а частное a:b – это есть произведение a·b −1 (b≠0 ).
Учитывая эти определения вычитания и деления, а также основные свойства сложения и умножения, можно доказать любые свойства действий с рациональными числами.
Для примера докажем распределительное свойство умножения относительно вычитания: a·(b−c)=a·b−a·c . Имеет место следующая цепочка равенств a·(b−c)=a·(b+(−c))= a·b+a·(−c)=a·b+(−(a·c))=a·b−a·c , которая и является доказательством.
Copyright by cleverstudents
Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний с применением компьютерных технологий.
Цели урока:
- Образовательные
:
- совершенствовать навыки решения примеров и уравнений по теме «Свойства действий с рациональными числами»;
- закрепить умения выполнять арифметические действия над рациональными числами;
- проверить умение использовать свойства арифметических действий для упрощения выражений с рациональными числами;
- обобщить и систематизировать теоретический материал.
- Развивающие
:
- развивать навыки устного счёта;
- развивать логическое мышление;
- формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли;
- развивать математическую речь учащихся в процессе выполнения устной работы по воспроизведению теоретического материала;
- расширить кругозор учащихся.
- Воспитательные
:
- воспитывать умение работать с имеющейся информацией;
- воспитывать уважение к предмету;
- воспитывать умение слушать своего товарища, чувство взаимопомощи и взаимоподдержки;
- способствовать воспитанию самоконтроля и взаимоконтроля учащихся.
Оборудование и наглядность: компьютер, мультимедийный проектор, экран, интерактивная презентация, сигнальные карточки для устного счета, цветные мелки.
Структура урока:
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
II. Сообщение темы и целей урока
Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение учащимся целей и плана урока.
– Тема нашего урока: «Свойства действий с рациональными числами», а девиз урока я прошу вас прочитать хором:
Да, путь познания не гладок.
Но знаем мы со школьных лет,
Загадок больше, чем разгадок,
И поискам предела нет!
И сегодня мы с вами на уроке дружно и активно
создадим математическую газету. Я – буду главным
редактором, а вы – корректорами. Как вы
понимаете значение этого слова?
Чтобы проверить других, нам необходимо
систематизировать свои знания по теме «Свойства
действий с рациональными числами».
А газета наша называется «Рациональные
числа». А в переводе на татарский язык?
Я слышала, что вы хорошо знаете и английский
язык, а как англичане назовут эту газету?
Представляю вам макет газеты, которая состоит
из следующих рубрик: чтение хором: «Спрашивают
– отвечаем
», «Новости дня
», «Аукцион
проектов
», «Актуальный репортаж
»,
«А знаете ли вы…?»
.
III. Актуализация опорных знаний
Устная работа:
В первой рубрике «Спрашивают – отвечаем» нам нужно проверить правильность информации, которую нам прислали в письмах наши корреспонденты. Посмотрите внимательно и скажите, какие правила нам нужно вспомнить, чтобы проверить эту информацию.
1.Правило сложения отрицательных чисел:
«Чтобы сложить два отрицательных числа, надо: 1) сложить их модули, 2) поставить перед полученным числом знак минус».
2. Правило деления чисел с разными знаками:
«При делении чисел с разными знаками, надо: 1) разделить модуль делимого на модуль делителя, 2) поставить перед полученным числом знак минус».
3. Правило умножения двух отрицательных чисел:
«Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули».
4. Правило умножения чисел с разными знаками:
«Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак минус».
5. Правило деления отрицательного числа на отрицательное число:
«Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное число, надо разделить модуль делимого на модуль делителя».
6. Правило сложения чисел с разными знаками:
«Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо 1) из большего модуля слагаемых вычесть меньший, 2) поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.
1) – 8,4 + (– 8,4) = 0; (– 16,8)
2) (– 6,7) . (– 10) = – 67; (67)
3) (– 2,2) + 3,5 = 1,3;
4) – 13 – 8 = – 5; (– 21)
5) 15 – 18 = – 13; (– 3)
6) 7,4 – (– 3,2) = – 10,6; (10,6)
7) – 9 . 6 = – 54;
8) – 3,6 . 1 = –1; (– 3,6)
9) – 18: (– 0,3) = 60;
10) – 3,7 . 0 = – 3,7. (0)
– Молодцы, хорошо справились.
IV. Закрепление пройденного материала
– А сейчас мы переходим к рубрике «Новости
дня
». Чтобы заполнить эту рубрику, нам
необходимо систематизировать знания о
числах.
– Какие вы знаете числа? (Натуральные, дробные,
рациональные)
– А какие числа относятся к рациональным? (Положительные,
отрицательные и 0)
– А какие свойства рациональных чисел вы
знаете? (Переместительное, сочетательное и
распределительное, умножение на 1, умножение на 0)
– А теперь перейдем к письменной работе. Открыли
тетради, записали число, классная работа, тема
«Свойства действий с рациональными числами».
Используя эти свойства, упростим
выражения:
А) х + 32 – 16 = х + 16
Б) – х – 18 – 23 = – х – 41
В) – 1,5 + х – 20 = – 21,5 + х
Г) 12 – 26 + х = х – 14
Д) 1,7 + 3,6 – х = 5,3 – х
Е) – х + а + 6,1 – а + 2,8 – 8,8 = – х + 0,1
– А следующие примеры требуют от нас еще более рационального решения с объяснением.
– 98 + 85 + 45 – 55 – 28 + 63 = 12
– 6,56 + 2,4 – 3,2 + 6,56 + 4 + 3,2 – 2,4 = 4
– 19,61 * 20 + 19,61 * 120 = 1961
12.04.1961 – Вам о чем-нибудь говорят полученные
ответы?
50 лет назад 12 апреля 1961 года Юрий Гагарин полетел
в космос. Город Заинск тоже имеет свою
космическую историю: 9 марта 1961 года спускаемый
аппарат №1 космического корабля «ВОСТОК-4»
совершил мягкую посадку в районе села Старый
Токмак Заинского района с манекеном человека,
собакой и другими мелкими животными на борту. И в
честь этого события в нашем районе поставят
памятник. Сейчас в городе работает конкурсная
комиссия. В конкурсе участвуют 3 проекта,
они перед вами на экране. А сейчас мы с вами
проведем аукцион проектов.
Я прошу проголосовать за понравившийся вам
проект. Ваш голос может оказаться решающим.
V. Физкультминутка
– Свое мнение вы выражаете аплодисментами и
топаньем. Давайте прорепетируем! Три хлопка и
три притопа.
– Еще раз попробуем. Итак, голосование
начинается:
– Отдаем свои голоса за Макет №1
– Отдаем свои голоса за Макет №2
– Отдаем свои голоса за Макет №3
– А теперь за все макеты вместе.
– Победу одержал Макет № ... Спасибо, я записала
ваши голоса (поднимает сотовый телефон и
показывает детям) и передам в счетную комиссию.
– Молодцы, спасибо. А впереди не менее важный – Актуальный
репортаж.
VI. Подготовка к ГИА
В рубрику «Актуальный репортаж» пришло письмо, где ученик просит помочь ему в решении заданий к итоговому экзамену в 9 классе. Нам нужно каждому самостоятельно прорешать задания, тесты <Приложение 1 > у вас на столах:
1. Решить уравнения:
а) (х + 3)(х – 6) = 0
1) х = 3, х = – 6
2) х = – 3, х = – 6
3) х = – 3, х = 6
В данном уроке рассматривается сложение и вычитание рациональных чисел. Тема относится к категории сложных. Здесь необходимо использовать весь арсенал полученных ранее знаний.
Правила сложения и вычитания целых чисел справедливы и для рациональных чисел. Напомним, что рациональными называют числа, которые могут быть представлены в виде дроби , где a – это числитель дроби, b – знаменатель дроби. При этом, b не должно быть нулём.
В данном уроке дроби и смешанные числа мы всё чаще будем называть одним общим словосочетанием — рациональные числа .
Навигация по уроку:Пример 1. Найти значение выражения:
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что плюс который дан в выражении, является знаком операции и не относится к дроби . У этой дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы запишем его для наглядности:
Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того рационального числа, модуль которого больше. А чтобы понять какой модуль больше, а какой меньше, нужно суметь сравнить модули этих дробей до их вычисления:
Модуль рационального числа больше, чем модуль рационального числа . Поэтому мы из вычли . Получили ответ . Затем сократив эту дробь на 2, получили окончательный ответ .
Некоторые примитивные действия, такие как: заключение чисел в скобки и проставление модулей, можно пропустить. Данный пример вполне можно записать покороче:
Пример 2. Найти значение выражения:
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что минус, стоящий между рациональными числами и является знаком операции и не относится к дроби . У этой дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы запишем его для наглядности:
Заменим вычитание сложением. Напомним, что для этого нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус:
Примечание. Заключать в скобки каждое рациональное число вовсе необязательно. Делается это для удобства, чтобы хорошо видеть какие знаки имеют рациональные числа.
Пример 3. Найти значение выражения:
В этом выражении у дробей разные знаменатели. Чтобы облегчить себе задачу, приведём эти дроби к общему знаменателю. Не будем подробно останавливаться на том, как это сделать. Если испытываете трудности, обязательно повторите урок .
После приведения дробей к общему знаменателю выражение примет следующий вид:
Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычитаем из большего модуля меньший модуль, и перед полученным ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:
Запишем решение данного примера покороче:
Пример 4. Найти значение выражения
Вычислим данное выражение в следующем : слóжим рациональные числа и , затем из полученного результата вычтем рациональное число . 
Первое действие:
Второе действие:
Пример 5 . Найти значение выражения:
Представим целое число −1 в виде дроби , а смешанное число переведём в неправильную дробь:
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:
Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычитаем из большего модуля меньший модуль, и перед полученным ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:
Получили ответ .
Есть и второй способ решения. Он заключается в том, чтобы сложить отдельно целые части.
Итак, вернёмся к изначальному выражению:
Заключим каждое число в скобки. Для этого смешанное число временно :
Вычислим целые части:
(−1) + (+2) = 1
В главном выражении вместо (−1) + (+2) запишем полученную единицу:
Полученное выражение . Для этого запишем единицу и дробь вместе:
Запишем решение этим способом покороче:
Пример 6. Найти значение выражения
Переведём смешанное число в неправильную дробь. Остальную часть перепишем без изменения:
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:
Заменим вычитание сложением:
Запишем решение данного примера покороче:
Пример 7. Найти значение выражение
Представим целое число −5 в виде дроби , а смешанное число переведём в неправильную дробь:
Приведём данные дроби к общему знаменателю. После их приведения к общему знаменателю, они примут следующий вид:
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:
Заменим вычитание сложением:
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус:
Таким образом, значение выражения равно .
Решим данный пример вторым способом. Вернемся к изначальному выражению:
Запишем смешанное число в развёрнутом виде. Остальное перепишем без изменений:
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе своими знаками:
Вычислим целые части:
В главном выражении вместо запишем полученное число −7
Выражение является развёрнутой формой записи смешанного числа . Запишем число −7 и дробь вместе, образуя окончательный ответ:
Запишем это решение покороче:
Пример 8. Найти значение выражения
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе своими знаками:
Заменим вычитание сложением:
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус:
Таким образом, значение выражения равно
Данный пример можно решить и вторым способом. Он заключается в том, чтобы сложить целые и дробные части по отдельности. Вернёмся к изначальному выражению:
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:
Заменим вычитание сложением:
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус. Но в этот раз слóжим по отдельности целые части (−1 и −2), и дробные и
Запишем это решение покороче:
Пример 9.
Найти выражения выражения 
Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
Заключим рациональное число в скобки вместе своим знаком. Рациональное число в скобки заключать не нужно, поскольку оно уже в скобках:
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус:
Таким образом, значение выражения равно
Теперь попробуем решить этот же пример вторым способом, а именно сложением целых и дробных частей по отдельности.
В этот раз, в целях получения короткого решения, попробуем пропустить некоторые действия, такие как: запись смешанного числа в развёрнутом виде и замена вычитания сложением:
Обратите внимание, что дробные части были приведены к общему знаменателю.
Пример 10.
Найти значение выражения 
Заменим вычитание сложением:
В получившемся выражении нет отрицательных чисел, которые являются основной причиной допущения ошибок. А поскольку нет отрицательных чисел, мы можем убрать плюс перед вычитаемым, а также убрать скобки:
Получилось простейшее выражение, которое вычисляется легко. Вычислим его любым удобным для нас способом:
Пример 11. Найти значение выражения
Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед полученными ответом поставим знак того рационального числа, модуль которого больше:
Пример 12.
Найти значение выражения 
Выражение состоит из нескольких рациональных чисел. Согласно , в первую очередь необходимо выполнить действия в скобках.
Сначала вычислим выражение , затем выражение Полученные результаты слóжим.
Первое действие:
Второе действие:
Третье действие:
Ответ:
значение выражения равно
Пример 13.
Найти значение выражения 
Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
Заключим рациональное число в скобки вместе со своим знаком. Рациональное число заключать в скобки не нужно, поскольку оно уже в скобках:
Приведём данные дроби в общему знаменателю. После их приведения к общему знаменателю, они примут следующий вид:
Заменим вычитание сложением:
Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед полученными ответом поставим знак того рационального числа, модуль которого больше:
Таким образом, значение выражения равно
Рассмотрим сложение и вычитание десятичных дробей, которые тоже относятся к рациональным числам и которые могут быть как положительными, так и отрицательными.
Пример 14. Найти значение выражения −3,2 + 4,3
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что плюс который дан в выражении, является знаком операции и не относится к десятичной дроби 4,3. У этой десятичной дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы его запишем для наглядности:
(−3,2) + (+4,3)
Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить того рационального числа, модуль которого больше. А чтобы понять какой модуль больше, а какой меньше, нужно суметь сравнить модули этих десятичных дробей до их вычисления:
(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1
Модуль числа 4,3 больше, чем модуль числа −3,2 поэтому мы из 4,3 вычли 3,2. Получили ответ 1,1. Ответ положителен, поскольку перед ответом должен стоять знак того рационального числа, модуль которого больше. А модуль числа 4,3 больше, чем модуль числа −3,2
Таким образом, значение выражения −3,2 + (+4,3) равно 1,1
−3,2 + (+4,3) = 1,1
Пример 15. Найти значение выражения 3,5 + (−8,3)
Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Как и в прошлом примере из большего модуля вычитаем меньший и перед ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:
3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8
Таким образом, значение выражения 3,5 + (−8,3) равно −4,8
Этот пример можно записать покороче:
3,5 + (−8,3) = −4,8
Пример 16. Найти значение выражения −7,2 + (−3,11)
Это сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус.
Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:
−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31
Таким образом, значение выражения −7,2 + (−3,11) равно −10,31
Этот пример можно записать покороче:
−7,2 + (−3,11) = −10,31
Пример 17. Найти значение выражения −0,48 + (−2,7)
Это сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим их модули и перед полученным ответом поставим минус. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:
−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18
Пример 18. Найти значение выражения −4,9 − 5,9
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что минус который располагается между рациональными числами −4,9 и 5,9 является знаком операции и не относится к числу 5,9. У этого рационального числа свой знак плюса, который невидим по причине того, что он не записывается. Но мы запишем его для наглядности:
(−4,9) − (+5,9)
Заменим вычитание сложением:
(−4,9) + (−5,9)
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим их модули и перед полученным ответом поставим минус:
(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8
Таким образом, значение выражения −4,9 − 5,9 равно −10,8
−4,9 − 5,9 = −10,8
Пример 19. Найти значение выражения 7 − 9,3
Заключим в скобки каждое число вместе со своими знаками
(+7) − (+9,3)
Заменим вычитание сложением
(+7) + (−9,3)
(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3
Таким образом, значение выражения 7 − 9,3 равно −2,3
Запишем решение этого примера покороче:
7 − 9,3 = −2,3
Пример 20. Найти значение выражения −0,25 − (−1,2)
Заменим вычитание сложением:
−0,25 + (+1,2)
Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед ответом поставим знак того числа, модуль которого больше:
−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95
Запишем решение этого примера покороче:
−0,25 − (−1,2) = 0,95
Пример 21. Найти значение выражения −3,5 + (4,1 − 7,1)
Выполним действия в скобках, затем слóжим полученный ответ с числом −3,5
Первое действие:
4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0
Второе действие:
−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5
Ответ: значение выражения −3,5 + (4,1 − 7,1) равно −6,5.
Пример 22. Найти значение выражения (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1)
Выполним действия в скобках. Затем из числа, которое получилось в результате выполнения первых скобок, вычтем число, которое получилось в результате выполнения вторых скобок:
Первое действие:
3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6
Второе действие:
3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4
Третье действие
0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
Ответ: значение выражения (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) равно 6.
Пример 23. Найти значение выражения −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15
Заключим в скобки каждое рациональное число вместе со своими знаками
(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)
Заменим вычитание сложением там, где это можно:
(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)
Выражение состоит из нескольких слагаемых. Согласно сочетательному закону сложения, если выражение состоит из нескольких слагаемых, то сумма не будет зависеть от порядка действий. Это значит, что слагаемые можно складывать в любом порядке.
Не будем изобретать велосипед, а слóжим все слагаемые слева направо в порядке их следования:
Первое действие:
(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35
Второе действие:
13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15
Третье действие:
7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1
Ответ: значение выражения −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 равно 1.
Пример 24. Найти значение выражения
Переведём десятичную дробь −1,8 в смешанное число. Остальное перепишем без изменения:
На этом уроке мы вспомним основные свойства действий с числами. Мы не только повторим основные свойства, но и научимся применять их к рациональным числам. Все полученные знания закрепим с помощью решения примеров.
Основные свойства действий с числами:
Первые два свойства - это свойства сложения, следующие два - умножения. Пятое свойство относится к обеим операциям.
Ничего нового в этих свойствах нет. Они были справедливы и для натуральных, и для целых чисел. Они также верны для рациональных чисел и будут верны для чисел, которые мы будем изучать дальше (например, иррациональных).
Перестановочные свойства:
От перестановки слагаемых или множителей результат не меняется.
Сочетательные свойства: , .
Сложение или умножение нескольких чисел можно делать в любом порядке.
Распределительное свойство: .
Свойство связывает обе операции - сложение и умножение. Также если его читать слева направо, то его называют правилом раскрытия скобок, а если в обратную сторону - правилом вынесения общего множителя за скобки.
Следующие два свойства описывают нейтральные элементы для сложения и умножения: прибавление нуля и умножение на единицу не меняют исходного числа.
Еще два свойства, которые описывают симметричные элементы для сложения и умножения, сумма противоположных чисел равна нулю; произведение обратных чисел равно единице.
Следующее свойство: . Если число умножить на ноль, в результате всегда будет ноль.
Последнее свойство, которое мы рассмотрим: .
Умножив число на , получаем противоположное число. У этого свойства есть особенность. Все остальные рассмотренные свойства нельзя было доказать, используя остальные. Это же свойство можно доказать, используя предыдущие.
Умножение на
Докажем, что если умножить число на , то получим противоположное число. Используем для этого распределительное свойство: .
Оно верно для любых чисел. Подставим вместо числа и :
Слева в скобках стоит сумма взаимно противоположных чисел. Их сумма равна нулю (у нас есть такое свойство). Слева теперь . Справа , получаем: 
.
Теперь слева у нас стоит ноль, а справа - сумма двух чисел. Но если сумма двух чисел равна нулю, то эти числа взаимно противоположны. Но у числа только одно противоположное число: . Значит, - это и есть : .
Свойство доказано.
Такое свойство, которое можно доказать, используя предыдущие свойства, называют теоремой
Почему здесь нет свойств вычитания и деления? Например, можно было бы записать распределительное свойство для вычитания: .
Но так как:
- вычитание любого числа можно эквивалентно записать в виде сложения, заменив число на противоположное:
- деление можно записать в виде умножения на обратное число:
Значит, свойства сложения и умножения вполне можно применять для вычитания и деления. В итоге список свойства, которые необходимо запомнить, получается короче.
Все рассмотренные нами свойства не являются исключительно свойствами рациональных чисел. Всем этим правилам подчиняются и другие числа, например, иррациональные. Например, сумма и противоположного ему числа равна нулю: .
Теперь мы перейдем к практической части, решим несколько примеров.
Рациональные числа в жизни
Те свойства предметов, которые мы можем описать количественно, обозначить каким-нибудь числом, называются величинами : длина, вес, температура, количество.
Одну и ту же величину можно обозначить и целым, и дробным числом, положительным или отрицательным.
Например, ваш рост м - дробное число. Но ведь можно сказать, что он равен см - это уже целое число (рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к примеру
Еще один пример. Отрицательная температура по шкале Цельсия будет положительной по шкале Кельвина (рис. 2).
Рис. 2. Иллюстрация к примеру
При строительстве стены дома один человек может ширину и высоту измерить в метрах. У него получаются дробные величины. Все вычисления дальше он будет проводить с дробными (рациональными) числами. Другой человек может все измерить в количестве кирпичей в ширину и высоту. Получив только целые значения, он и вычисления будет проводить с целыми числами.
Сами величины не бывают ни целыми, ни дробными, ни отрицательными, ни положительными. Но число, которым мы описываем значение величины, уже является вполне конкретным (например, отрицательным и дробным). Это зависит от шкалы измерений. И когда мы от реальных величин переходим к математической модели, то работаем с конкретным типом чисел
Начнем со сложения. Слагаемые можно переставлять так, как нам удобно, и действия выполнять можно в любом порядке. Если слагаемые разных знаков оканчиваются на одну цифру, то удобно сначала выполнять действия с ними. Для этого поменяем слагаемые местами. Например:
Обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями легко складываются.
Противоположные числа в сумме дают ноль. Числа с одинаковыми десятичными «хвостами» легко вычитаются. Используя эти свойства, а также переместительный закон сложения, можно облегчить вычисление значения, например, следующего выражения:
Числа с дополняющими друга десятичными «хвостами» легко складываются. С целыми и дробными частями смешанных чисел удобно работать по отдельности. Используем эти свойства при вычислении значения следующего выражения:
Перейдем к умножению. Есть пары чисел, которые легко перемножить. Используя переместительное свойство, можно переставить множители так, чтобы они оказались рядом. Количество минусов в произведении можно посчитать сразу и сделать вывод о знаке результата.
Рассмотрим такой пример:
Если из сомножителей равен нулю, то произведение равно нулю, например: .
Произведение обратных чисел равно единице, а умножение на единицу не меняет значение произведения. Рассмотрим такой пример:
Рассмотрим пример с использованием распределительного свойства. Если раскрыть скобки, то каждое умножение выполняется легко.
Действия с десятичными дробями.
Сложение и вычитание десятичных дробей.
1. Уравнять количество цифр после запятой.
2. Сложить или вычесть десятичные дроби запятая под запятой по разрядам.
Умножение десятичных дробей.
1. Умножить, не обращая внимания на запятые.
2. В произведении запятой отделить справа столько цифр, сколько их во всех множителях
вместе после запятой.
Деление десятичных дробей.
1. В делимом и делителе перенести запятые вправо на столько цифр, сколько их после запятой
в делителе.
2. Разделить целую часть, поставить в частном запятую. (Если целая часть меньше делителя, то
частное начинается с нуля целых)
3. Продолжить деление.
Действия с положительными и отрицательными числами.
Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел.
а – (– в) = а + в
Все остальные случаи рассматриваются как сложение чисел.
Сложение двух отрицательных чисел:
1. результат записываем со знаком «–»;
2. модули складываем.
Сложение чисел с разными знаками:
1. ставим знак большего модуля;
2. вычитаем из большего модуля меньший.
Умножение и деление положительных и отрицательных чисел.
1. При умножении и делении чисел с разными знаками результат записывается со знаком
минус.
2. При умножении и делении чисел с одинаковыми знаками результат записывается со знаком
плюс.
Действия с обыкновенными дробями.
Сложение и вычитание.
1. Привести дроби к общему знаменателю.
2. Сложить или вычесть числители, а знаменатель оставить без изменения.
Умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель (по возможности – сократить).
Делитель (вторую дробь) «перевернуть» и выполнить умножение.
Деление.
Умножение.
Выделение целой части из неправильной дроби.
38
5 = 38: 5 = 7(ост.3) = 7
3
5
Перевод смешанного числа в неправильную дробь.
2
7 + =
4
4·7+2
7
30
7
=
1
.
+
Сокращение дроби.
Сократить дробь – разделить числитель и знаменатель на одно и то же число.
6
7
6
7 . Можно короче:
30:5
35:5 =
30
35 =
Например:
30
35 =
.
1.
Разложить знаменатели дробей на простые
множители.
Приведение дробей к общему знаменателю.
5 4
7
16 +
36
80 =
71
80
2. Вычеркнуть одинаковые множители.
3. Оставшиеся множители от знаменателя первой
дроби перемножить и записать как
дополнительный множитель для второй дроби, а
от второй дроби – к первой дроби.
2∙2∙2∙2 2∙2∙5
4. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби
на её дополнительный множитель.
9
20 =
35
80 +
Сложение и вычитание смешанных чисел.
Сложить или вычесть отдельно целые части, отдельно дробные.
«Особые» случаи:
«Превратить» 1 в дробь, у которой числитель и
2
2
5
6
3
5 =
3
5 = 2
1
1
Занять 1 и «превратить» её в дробь, у которой числитель и
знаменатель равны знаменателю данной дроби.
Занять 1 и прибавить знаменатель к числителю.
3
5 =
3
5 = 2
5
5 ‒
5
5 ‒
‒
1
‒
3
2
5
1 ‒
3
3
5 = 2
5
5 1 ‒
3
5 = 1
2
5
1
5
1 ‒
3
5 = 2
6
5 1‒
3
3
5 = 1
3
5
Перевести смешанные числа в неправильные дроби и выполнить умножение или деление.
Умножение и деление смешанных чисел.
2
7 + ∙ 2
4
4
5 + =
30
7 ∙
14
5 =
30·14
7·5
6·2
1·1 =
12
1 = 12
=
∙ ∙
6
7
