Как найти радиус окружности? Этот вопрос всегда актуален для школьников, изучающих планиметрию. Ниже мы рассмотрим несколько примеров того, как можно справиться с поставленной задачей.
В зависимости от условия задачи радиус окружности вы можете найти так.
Формула 1: R = Л / 2π, где Л - это а π - константа, равная 3,141…
Формула 2: R = √(S / π), где S - это величина площади круга.
Формула 1: R = В/2, где В - гипотенуза.
Формула 2: R = М*В, где В - гипотенуза, а М - медиана, проведенная к ней.
Как найти радиус окружности, если она описана вокруг правильного многоугольника
Формула: R = А / (2 * sin (360/(2*n))), где А - длина одной из сторон фигуры, а n - количество сторон в данной геометрической фигуре.
Как найти радиус вписанной окружности
Вписанной окружность называется тогда, когда она касается всех сторон многоугольника. Рассмотрим несколько примеров.
Формула 1: R = S / (Р/2), где - S и Р - площадь и периметр фигуры соответственно.
Формула 2: R = (Р/2 - А) * tg (а/2), где Р - периметр, А - длина одной из сторон, а - противолежащий этой стороне угол.
Как найти радиус окружности, если она вписана в прямоугольный треугольник
Формула 1:
Радиус окружности, которая вписана в ромб
Окружность можно вписать в любой ромб, как равносторонний, так и неравносторонний.
Формула 1: R = 2 * Н, где Н - это высота геометрической фигуры.
Формула 2: R = S / (А*2), где S - это а А - длина его стороны.
Формула 3: R = √((S * sin А)/4), где S - это площадь ромба, а sin А - синус острого угла данной геометрической фигуры.
Формула 4: R = В*Г/(√(В² + Г²), где В и Г - это длины диагоналей геометрической фигуры.
Формула 5: R = В*sin (А/2), где В - диагональ ромба, а А - это угол в вершинах, соединяющих диагональ.
Радиус окружности, которая вписана в треугольник
В том случае, если в условии задачи вам даны длины всех сторон фигуры, то сначала высчитайте (П), а затем полупериметр (п):
П = А+Б+В, где А, Б, В - длин сторон геометрической фигуры.
Формула 1: R = √((п-А)*(п-Б)*(п-В)/п).
А если, зная все те же три стороны, вам дана еще и то можете рассчитать искомый радиус следующим образом.
Формула 2: R = S * 2(А + Б + В)
Формула 3: R = S/п = S / (А+Б+В)/2), где - п - это полупериметр геометрической фигуры.
Формула 4: R = (п - А) * tg (А/2), где п - это полупериметр треугольника, А - одна из его сторон, а tg (А/2) - тангенс половины противолежащего этой стороне угла.
А ниже приведенная формула поможет отыскать радиус той окружности, которая вписана в
Формула 5: R =А * √3/6.
Радиус окружности, которая вписана в прямоугольный треугольник
Если в задаче даны длины катетов, а также гипотенуза, то радиус вписанной окружности узнается так.
Формула 1: R = (А+Б-С)/2, где А, Б - катеты, С - гипотенуза.
В том случае, если вам даны только два катета, самое время вспомнить теорему Пифагора, чтобы гипотенузу найти и воспользоваться вышеприведенной формулой.
С = √(А²+Б²).
Радиус окружности, которая вписана в квадрат
Окружность, которая вписана в квадрат, делит все его 4 стороны ровно пополам в точках касания.
Формула 1: R = А/2, где А - длина стороны квадрата.
Формула 2: R = S / (Р/2), где S и Р - площадь и периметр квадрата соответственно.
В данной статье речь пойдёт о том, как выразить площадь многоугольника, в который можно вписать окружность, через радиус этой окружности. Сразу стоит отметить, что не во всякий многоугольник можно вписать окружность. Однако, если это возможно, то формула, по которой вычисляется площадь такого многоугольника, становится очень простой. Дочитайте эту статью до конца или посмотрите прилагающийся видеоурок, и вы узнаете, как же выразить площадь многоугольника через радиус вписанной в него окружности.
Формула площади многоугольника через радиус вписанной окружности
Нарисуем многоугольник A
1 A
2 A
3 A
4 A
5 , не обязательно правильный, но такой, в который можно вписать окружность. Напомню, что вписанной называется окружность, которая касается всех сторон многоугольника. На рисунке это зелёная окружность с центром в точке O
:
Мы взяли здесь для примера 5-угольник. Но на самом деле это не имеет существенного значения, поскольку дальнейшее доказательство справедливо и для 6-угольника и для 8-угольника и вообще для любого сколь угодно «угольника».
Если соединить центр вписанной окружности со всеми вершинами многоугольника, то он разобьётся на столько треугольников, сколько вершин в данном многоугольнике. В нашем случае: на 5 треугольников. Если же соединить точку O со всеми точками касания вписанной окружности со сторонами многоугольника, то получится 5 отрезков (на рисунке снизу это отрезки OH 1 , OH 2 , OH 3 , OH 4 и OH 5), которые равны радиусу окружности и перпендикулярны сторонам многоугольника, к которым они проведены. Последнее справедливо, поскольку радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной:
Как же найти площадь нашего описанного многоугольника? Ответ прост. Нужно сложить площади всех полученных в результате разбиения треугольников:
Рассмотрим, чему равна площадь треугольника . На рисунке снизу он выделен жёлтым цветом:
Она равна половине произведения основания A
1 A
2 на высоту OH
1 , проведённую к этому основанию. Но, как мы уже выяснили, эта высота равна радиусу вписанной окружности. То есть формула площади треугольника принимает вид: 
, где r
— радиус вписанной окружности. Аналогично находятся площади всех оставшихся треугольников. В результате искомая площадь многоугольника оказывается равна:
Видно, что во всех слагаемых этой суммы ест общий множитель , который можно вынести за скобки. В результате получится вот такое выражение:
То есть в скобках осталась просто сумма всех сторон многоугольника, то есть его периметр P . Чаще всего в этой формуле выражение заменяют просто на p и называют эту букву «полупериметром». В результате, окончательная формула принимает вид:
То есть площадь многоугольника, в который вписана окружность известного радиуса, равна произведению этого радиуса на полупериметр многоугольника. Это и есть тот результат, в которому мы стремились.
Отметит напоследок, что в треугольник, который является частным случаем многоугольника, всегда можно вписать окружность. Поэтому для треугольника эту формулу можно применять всегда. Для остальных многоугольников, с количеством сторон большим 3, сперва нужно убедиться, что в них можно вписать окружность. Если это так, можно смело использовать эту простую формулу и находить по ней площадь этого многоугольника.
Материал подготовил , Сергей Валерьевич
Рассмотрим окружность, вписанную в треугольник (рис. 302). Напомним, что ее центр О помещается на пересечении биссектрис внутренних углрв треугольника. Отрезки ОА, ОВ, ОС, соединяющие О с вершинами треугольника ABC, разобьют треугольник на три треугольника:
АОВ, ВОС, СОА. Высота каждого из этих треугольников равна радиусу , и потому их площади выразятся как
Площадь всего треугольника S равна сумме этих трех площадей:
где - полупериметр треугольника. Отсюда
Радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру.
Для получения формулы для радиуса описанной окружности треугольника докажем следующее предложение.
Теорем а: В любом треугольнике сторона равна диаметру описанной окружности, умноженному на синус противолежащего угла.
Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и описанную вокруг него окружность, радиус которой обозначим через R (рис. 303). Пусть А - острый угол треугольника. Проведем радиусы ОВ, ОС окружности и опустим из ее центра О перпендикуляр ОК на сторону ВС треугольника. Заметим, что угол а треугольника измеряется половиной дуги ВС, для которой угол ВОС является центральным углом. Отсюда видно, что . Поэтому из прямоугольного треугольника СОК находим , или , что и требовалось доказать.
Приведенный рис. 303 и рассуждение относятся к случаю острого угла треугольника; нетрудно было бы провести доказательство и для случаев прямого и тупого угла (читатель это проделает самостоятельно), но можно использовать теорему синусов (218.3). Так как должно быть откуда
Теорему синусов записывают также в. виде
и сравнение с формой записи (218.3) дает для
Радиус описанной окружности равен отношению произведения трех сторон треугольника к его учетверенной площади.
Задача. Найти стороны равнобедренного треугольника, если его вписанная и описанная окружности имеют соответственно радиусы
Решение. Напишем формулы, выражающие радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника:
Для равнобедренного треугольника с боковой стороной и основанием площадь выражается формулой
или, сократив дробь на отличный от нуля множитель , будем иметь
что приводит к квадратному уравнению относительно
Оно имеет два решения:
Подставив вместо его выражения в любое из уравнений для или R, найдем окончательно два ответа к нашей задаче:
Упражнения
1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делнт гипотенузу в отношении Найти отношение каждого из катетов к гипотенузе.
2. Основания равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равны а и b. Найти радиус окружности.
3. Две окружности касаются внешним образом. Их общие касательные наклонены к линии центров под углом 30°. Длина отрезка касательной между точками касания равна 108 см. Найти радиусы окружностей.
4. Катеты прямоугольного треугольника равны а и b. Найти площадь треугольника, сторонами которого служат высота и медиана данного треугольника, проведенные из вершины прямого угла, и отрезок гипотенузы между точками их пересечения с гипотенузой.
5. Стороны треугольника равны 13, 14, 15. Найти проекцию каждой из них на две остальные.
6. В треугольнике известны сторона и высоты Найти стороны b и с.
7. Известны две стороны треугольника и медиана Найти третью сторону треугольника.
8. Даны две стороны треугольника и угол а между ними: Найти радиусы вписанной и описанной окружностей.
9. Известны стороны треугольника а, b, с. Чему равны отрезки, на которые они разбиваются точками касания вписанной окружности со сторонами треугольника?
Если окружность располагается внутри угла и касается его сторон, её называют вписанной в этот угол. Центр такой вписанной окружности располагается на биссектрисе этого угла .
Если же она лежит внутри выпуклого многоугольника и соприкасается со всеми его сторонами, она называется вписанной в выпуклый многоугольник.
Окружность, вписанная в треугольник, соприкасается с каждой стороной этой фигуры лишь в одной точке. В один треугольник возможно вписать лишь одну окружность.
Радиус такой окружности будет зависеть от следующих параметров треугольника:
- Длин сторон треугольника.
- Его площади.
- Его периметра.
- Величины углов треугольника.
Для того чтобы вычислить радиус вписанной окружности в треугольник, не всегда обязательно знать все перечисленные выше параметры, поскольку они взаимосвязаны между собой через тригонометрические функции.
Вычисление с помощью полупериметра
- Если известны длины всех сторон геометрической фигуры (обозначим их буквами a, b и c), то вычислять радиус придётся путём извлечения квадратного корня.
- Приступая к вычислениям, необходимо добавить к исходным данным ещё одну переменную - полупериметр (р). Его можно рассчитать, сложив все длины и полученную сумму разделив на 2. p = (a+b+c)/2. Таким образом можно существенно упростить формулу нахождения радиуса.
- В целом формула должна включать в себя знак радикала, под который помещается дробь, знаменателем этой дроби будет величина полупериметра р.
- Числителем данной дроби будет представлять собой произведение разностей (p-a)*(p-b)*(p-c)
- Таким образом, полный вид формулы будет представлен следующим образом: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).
Вычисление с учётом площади треугольника
Если нам известна площадь треугольника и длины всех его сторон, это позволит найти радиус интересующей нас окружности, не прибегая к извлечению корней.
- Для начала нужно удвоить величину площади.
- Результат делится на сумму длин всех сторон. Тогда формула будет выглядеть следующим образом: r = 2*S/(a+b+c).
- Если воспользоваться величиной полупериметра, можно получить совсем простую формулу: r = S/p.
Расчёт с помощью тригонометрических функций
Если в условии задачи присутствует длина одной из сторон, величина противоположного угла и периметр, можно воспользоваться тригонометрической функцией - тангенсом. В этом случае формула расчёта будет иметь следующий вид:
r = (P /2- a)* tg (α/2), где r - искомый радиус, Р - периметр, а - значение длины одной из сторон, α - величина противоположного стороне, а угла.
Радиус окружности, которую необходимо будет вписывать в правильный треугольник, можно найти по формуле r = a*√3/6.
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник
В прямоугольный треугольник можно вписать только одну окружность . Центр такой окружности одновременно служит точкой пересечения всех биссектрис. Эта геометрическая фигура имеет некоторые отличительные черты, которые необходимо учесть, вычисляя радиус вписанной окружности.
- Для начала необходимо выстроить прямоугольный треугольник с заданными параметрами. Построить такую фигуру можно по размеру её одной стороны и величинам двух углов или же по двум сторонам и углу между этими сторонами. Все эти параметры должны быть указаны в условии задачи. Треугольник обозначается как АВС, причём С - это вершина прямого угла. Катеты при этом обозначаются переменными, а и b , а гипотенуза - переменной с .
- Для построения классической формулы и вычисления радиуса окружности необходимо найти размеры всех сторон описанной в условии задачи фигуры и по ним вычислить полупериметр. Если в условиях даются размеры двух катетов, по ним можно вычислить величину гипотенузы, исходя из теоремы Пифагора.
- Если в условии дан размер одного катета и одного угла, необходимо понять, прилежащий этот угол или противолежащий. В первом случае гипотенуза находится с помощью теоремы синусов: с=a/sinСАВ , во втором случае применяют теорему косинусов с=a/cosCBA .
- Когда все расчёты выполнены и величины всех сторон известны, находят полупериметр по формуле, описанной выше.
- Зная величину полупериметра, можно найти радиус. Формула представляет собой дробь. Её числителем является произведение разностей полупериметра и каждой из сторон, а знаменателем -величина полупериметра.
Следует заметить, что числитель данной формулы является показателем площади. В этом случае формула нахождения радиуса гораздо упрощается - достаточно разделить площадь на полупериметр.
Определить площадь геометрической фигуры можно и в том случае, если известны оба катета. По сумме квадратов этих катетов находится гипотенуза, далее вычисляется полупериметр. Вычислить площадь можно, умножив друг на друга величины катетов и разделив полученное на 2.
Если в условиях даны длины и катетов и гипотенузы, определить радиус можно по очень простой формуле: для этого складываются длины катетов, из полученного числа вычитается длина гипотенузы. Результат необходимо разделить пополам.
Видео
Из этого видео вы узнаете, как находить радиус вписанной в треугольник окружности.
Не получили ответ на свой вопрос? Предложите авторам тему.
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Следовательно, он наследует все свойства параллелограмма. А именно:
- Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
- Диагонали ромба являются биссектрисами его внутренних углов.
Окружность можно вписать в четырехугольник тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны.
Следовательно, в любой ромб можно вписать окружность. Центр вписанной окружности совпадает с центром пересечения диагоналей ромба.
Радиус вписанной окружности в ромб можно выразить несколькими способами
1 способ. Радиуса вписанной окружности в ромб через высоту
Высота ромба равна диаметру вписанной окружности. Это следует из свойства прямоугольника, который образуют диаметр вписанной окружности и высота ромба – у прямоугольника противолежащие стороны равны.
Следовательно формула радиуса вписанной окружности в ромб через высоту:
2 способ. Радиус вписанной окружности в ромб через диагонали
Площадь ромба можно выразить через радиус вписанной окружности
, где Р
– периметр ромба. Зная, что периметр это сумма всех сторон четырехугольника имеем P=
4×а.
Тогда
Но площадь ромба также равна половине произведения его диагоналей 
Прировняв правые части формул площади, имеем следующее равенство 
В результате получаем формулу, позволяющую вычислить радиус вписанной окружности в ромб чрез диагонали
Пример расчета радиуса окружности вписанной в ромб, если известны диагонали
Найти радиус окружности вписанной в ромб, если известно, что длина диагоналей 30 см и 40 см
Пусть ABCD
-ромб, тогда AC
и BD
его диагонали. AC=
30 см, BD
=40 см
Пусть точка О
– это центр вписанной в ромб ABCD
окружности, тогда она будет также являться и точкой пересечения его диагоналей, делящих их пополам.
т.к диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то треугольник AOB
прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора
, подставляем в формулу ранее полученные значения
AB
= 25 см
Применив ранее выведенную формулу для радиуса описанной окружности в ромб, получаем
3 способ. Радиус вписанной окружности в ромб через отрезки m и n
Точка F
– точка касания окружности со стороной ромба, которая делит ее на отрезки AF
и BF
. Пусть AF=
m, BF=n.
Точка O
– центр пересечения диагоналей ромба и центр вписанной в него окружности.
Треугольник AOB
– прямоугольный, так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
, т.к. является радиусом, проведенным в точку касания окружности. Следовательно OF
– высота треугольника AOB
к гипотенузе. Тогда AF
и BF –
проекции катетов на гипотенузу.
Высота в прямоугольном треугольнике, опущенная на гипотенузу есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через отрезки равна корню квадратному из произведения этих отрезков, на которые делит сторону ромба точка касания окружности
