Математический анализ решения пределов числовой последовательности. Вычисление пределов функций онлайн

Приложение

Пределы онлайн на сайт для полноценного закрепления студентами и школьниками пройденного материала. Как найти предел онлайн, используя наш ресурс? Это сделать очень просто, достаточно всего лишь правильно записать исходную функцию с переменной x, выбрать из селектора нужную бесконечность и нажать кнопку "Решение". В случае, когда предел функции должен быть вычислен в некоторой точке x, то вам нужно указать числовое значение этой самой точки. Ответ на решение предела получите в считанные секунды, другими словами - мгновенно. Однако, если вы укажете некорректные данные, то сервис автоматически сообщим вам об ошибке. Исправите введенную ранее функцию и получите верное решение предела. Для решения пределов применяются все возможные приемы, особенно часто используется метод Лопиталя, так как он универсален и приводит к ответу быстрее, чем другие способы вычисления предела функции. Интересно рассматривать примеры, в которых присутствует модуль. Кстати, по правилам нашего ресурса, модуль обозначается классической в математике вертикальной чертой "|" или Abs(f(x)) от латинского absolute. Часто решение предела требуется для вычисления суммы числовой последовательности. Как всем известно, нужно всего лишь правильно выразить частичную сумму исследуемой последовательности, а дальше все гораздо проще, благодаря нашему бесплатному сервису сайт, так как вычисление предела от частичной суммы это и есть итоговая сумма числовой последовательности. Вообще-то говоря, теория предельного перехода - это основное понятие всего математического анализа. Все базируется именно на предельных переходах, то есть решение пределов заложено в основу науки математического анализа. В интегрировании также применяется предельный переход, когда интеграл по теории представляется суммой неограниченного числа площадей. Где присутствует неограниченное число чего-либо, то есть стремление количества объектов к бесконечности, то всегда вступает в силу теория предельных переходов, а в общепринятом виде это решение знакомых всем пределов. Решение пределов онлайн на сайте сайт - это уникальный сервис для получения точного и мгновенного ответа в режиме реального времени. Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, - такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке. Не редко, а мы бы даже сказали очень часто, у студентов возникает вопрос решения пределов онлайн при изучении математического анализа. Задаваясь вопросом о решении предела онлайн с подробным решением исключительно в особых случаях, становится ясно, что не справиться со сложной задачей без применения вычислительного калькулятора пределов. Решение пределов нашим сервисом - залог точности и простоты.. Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится. Решение пределов онлайн для пользователей становится легким ответом при том условии, что они знают как решить предел онлайн с помощью сайт. Будем сосредоточенны и не позволим ошибкам доставлять нам неприятности в виде неудовлетворительных оценок. Как всякое решение пределов онлайн, ваша задача будет представлена в удобном и понятном виде, с подробным решением, с соблюдением всех норм и правил получения решения. Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. Тут пределы функции рассматриваются только в точках, предельных для области определения функции, означая, что в каждой окрестности данной точки есть точки из области определения этой самой функции. Это позволяет говорить о стремлении аргумента функции к данной точке. Но предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения и это доказывается решением предела: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция. При этом сами границы интервала в область определения не входят. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки - частный случай такой базы множеств. Решение пределов онлайн с подробным решением производится в реальном времени и применяя формулы в явно заданном виде.. Вы сможете сэкономить время, а главное деньги, так как мы не просим за это вознаграждение. Если в некоторой точке области определения функции существует предел и решение этого предела равно значению функции в данной точке, то функция оказывается непрерывной в такой точке. На нашем сайте решение пределов доступно онлайн двадцать четыре часа в сутки каждый день и каждую минуту.. Использовать калькулятор пределов очень важно и главное применять его каждый раз, как только понадобится проверка знаний. Студентам явная польза от всего этого функционала. Вычислить предел, используя и применяя только теорию, не всегда получится так просто, как говорят опытные студенты математических факультетов ВУЗов страны. Факт остается фактом при наличии цели. Обычно найденное решение пределов неприменимо локально для постановки задач. Ликовать станет студент, как только обнаружит для себя калькулятор пределов онлайн в интернете и в бесплатном доступе, и не только для одного себя, но для всех желающих. Назначение стоит расценивать как математику, в общем, её понимании. Если запросить в Интернете, как найти предел онлайн подробно, то масса появляющихся в результате запроса сайтов не помогут так, как это сделаем именно мы. Разность сторон приумножается эквивалентности происшествия. Исконно законный предел функции необходимо определять их постановки самой математической задачи. Гамильтон был прав, однако стоит учитывать и высказывания современников. Отнюдь вычисление пределов онлайн не такая сложная задача, как кому-то может показаться на первый взгляд.. Чтобы не сломать истинность непоколебимых теорий. Возвращаясь к начальной ситуации, вычислить предел необходимо быстро, качественно и в аккуратно оформленном виде. Разве возможно было бы сделать иначе? Такой подход очевиден и оправдан. Калькулятор пределов создан для увеличения знаний, улучшения качества написания домашнего задания и подъему общего настроения среди учащихся, так будет правильно для них. Просто надо мыслить как можно быстрее и будет разум торжествовать. Явно сказать про пределы онлайн интерполяционными терминами очень изысканное занятие для профессионалов своего ремесла. Прогнозируем отношение системы внеплановых разностей в точках пространства. И вновь задача сводится к неопределенности, исходя из того, что предел функции существует на бесконечности и в некой окрестности локальной точки на заданной оси абсцисс после аффинного преобразования начального выражения. Легче будет анализировать восхождение точек на плоскости и на вершине пространства. В общем положении вещей не сказано про вывод математической формула, как в натуре, так и в теории, чтобы калькулятор пределов онлайн использовался по назначению в этом смысле. Без определения предела онлайн считаю затруднительным дальнейшие вычисления в области исследования криволинейного пространства. Было бы не легче с точки зрения нахождения истинного правильного ответа. Разве невозможно вычислить предел, если заданная точка в пространстве является неопределенной заранее? Опровергнем наличие ответов за областью исследования. Про решение пределов можно рассуждать с точки зрения математического анализа как начало исследования последовательности точек на оси. Может быть неуместным сам факт действия вычислений. Числа представимы в виде бесконечной последовательности и отождествлены начальной записи после того, как мы решили предел онлайн подробно согласно теории. Как раз обосновано в пользу наилучшего значения. Результат предела функции, как явная ошибка неправильно поставленной задачи, может исказить представление о реальном механическом процессе неустойчивой системы. Возможность выразить значение прямо в область взглядов. Сопоставив онлайн пределу аналогичную запись одностороннего предельного значения, лучше избежать выражения в явном виде по формулам приведения. Кроме начала пропорционального выполнения задания. Полином разложим после того, как удастся вычислить предел односторонний и записать его на бесконечности. Простые размышления приводят в математическом анализе к истинному результату. Простое решение пределов зачастую сводится к иной степени равенства исполняемых противолежащих математических иллюстраций. Линии и числа Фибоначчи расшифровали калькулятор пределов онлайн, в зависимости от этого можно заказать непредельное вычисление и может быть сложность отступит на задний план. Идет процесс развертывания графика на плоскости в срезе трехмерного пространства. Это и привило к потребности различных взглядов на сложную математическую задачу. Однако результат не заставит себя ждать. Однако, происходящий процесс реализации восходящего произведения, искажает пространство линий и записывает онлайн предел для ознакомления с постановкой задачей. Естественность протекания процесса накапливания задач обуславливает потребность в знаниях всех областей математических дисциплин. Отличный калькулятор пределов станет незаменимым инструментом в руках умелых студентов и они по достоинству оценят все его преимущества перед аналогами цифрового прогресса. В школах для чего-то пределы онлайн называют не так, как в институтах. Вырастет значение функции от изменения аргумента. Еще Лопиталь говорил - предел функции найти это лишь полдела, надо задачу довести до логического завершения и представить ответ в развернутом виде. Реальности адекватно присутствие фактов по делу. С пределом онлайн связаны исторически важные аспекты математических дисциплин и составляют основу изучения теории чисел. Кодировка страницы в математических формулах доступна на клиентском языке в браузере. Как бы вычислить предел допустимым законным методом, не заставив функцию видоизменяться по направлению оси абсцисс. Вообще реальность пространства зависит не только от выпуклости функции или её вогнутости. Исключите из задачи все неизвестные и решение пределов сведет к наименьшим затратам имеющихся у вас математических ресурсов. Решение постановочной задачи исправит функционал на все сто процентов. Происходящее математическое ожидание выявит предел онлайн подробно относительно отклонения от наименьшего значимого особенного отношения. Прошло дня три после принятого математического решения в пользу науки. Это действительно полезное занятие. Без причины отсутствия предела онлайн будет означать расхождение в общем подходе к решению ситуационных проблем. Лучшее название одностороннего предела с неопределенностью 0/0 будет востребовано в будущем. Ресурс может быть не только красивым и хорошим, но также и полезным, когда сможет вычислить предел за вас. Великий ученый, будучи студентом, исследовал функции для написания научной работы. Прошло десять лет. Перед разными нюансами стоит однозначно прокомментировать математическое ожидание в пользу того, что предел функции заимствует расхождение принципалов. На заказанную контрольную работу откликнулись. В математике исключительную позицию в обучении занимает, как ни странно, исследование онлайн предела с взаимообразными сторонними отношениями. Как в обычных случаях и бывает. Можно ничего не воспроизводить. Проанализировав подходы изучения студентов к математическим теориям, мы основательно оставим решение пределов на пост завершающий этап. В этом заключается смысл нижесказанного, исследуйте текст. Преломление однозначно определяет математическое выражение как суть полученной информации. предел онлайн есть суть в определении истинного положения математической системы относительности разнонаправленных векторов. В этом смысле разумею выразить собственное мнение. Как в прошлой задаче. Отличительный предел онлайн подробно распространяет свое влияние на математический взгляд последовательного изучения программного анализа в области исследования. В разрезе с теорией, математика нечто высшее, чем просто наука. Лояльность подтверждается действиями. Не остается возможным намеренно прервать цепочку последовательных чисел, начинающих свое движение вверх, если некорректно вычислить предел. Двусторонняя поверхность выражена в натуральном виде во всю величину. За возможностью исследовать математический анализ предел функции заключает последовательность функционального ряда как эпсилон-окрестность в заданной точке. В знак отличия от теории функций, не исключены погрешности в вычислениях, однако это предусмотрено ситуацией. Деление по пределу онлайн задачи можно расписать функцию переменного расхождения для быстрого произведения нелинейной системы трехмерного пространства. Тривиальный случай заложен в основу функционирования. Не надо быть студентом, чтобы проанализировать данный случай. Совокупность моментов происходящего вычисления, изначально решение пределов определяет как функционирование всей целостной системы прогресса вдоль оси ординат на множественных значениях чисел. Берем за базовую величину как можно наименьшее математическое значение. Вывод очевиден. Расстояние между плоскостями поможет расшириться в теории онлайн пределов, поскольку применение метода расходящегося вычисления приполярного аспекта значимости не несет в себе заложенного смысла. Отличный выбор, если калькулятор пределов расположен на сервере, это можно принимать как есть без искажения значимости поверхностного изменения площадей, а то выше станет задача о линейности. Полный математический анализ выявил неустойчивость системы наряду с её описанием в области наименьшей окрестности точки. Как любой предел функции по оси пересечения ординат и абсцисс, можно заключить числовые значения объектов в некоторую минимальную окрестность по распределению функциональности процесса исследования. Распишем задачу по пунктам. Идет разделение по этапам написания. Академические заявления, что вычислить предел реально сложно или совсем не совсем просто, подкрепляются анализом математических взглядов всех без исключения студентов и аспирантов. Возможные промежуточные результаты не заставят себя ожидать долгое время. Указанный выше предел онлайн подробно исследуют абсолютный минимум системной разности объектов, за которыми линейность пространства математики искажается. Большую по площади сегментацию площади не используют студенты для вычисления множественного разногласия после записи калькулятора пределов онлайн по вычитаниям. После начала запретим студентам пересмотреть задачи на исследование пространственного окружения в математике. Раз уже предел функции мы находили, то давайте построим график её исследования на плоскости. Выделим оси ординат особым цветом и покажем направление линий. Устойчивость есть. Неопределенность присутствует долгое время на протяжении написания ответа. Вычислить предел функции в точке просто проанализировав разность пределов на бесконечности при начальных условиях. Этот способ известен не каждому пользователю. Нужен математический анализ. Решение пределов накапливает опыт в умах поколений на многие год в вперед. Не усложнять процесс невозможно. За его вывод отвечают студенты всех поколений. Может начать изменяться все вышесказанное при отсутствии закрепляющего аргумента по позиции функций около некоторой точки, отстающей от калькуляторов пределов по разности мощности вычисления. Проведем исследование функции для получения результирующего ответа. Вывод не очевиден. Исключив из общего числа неявно заданные функции после преобразования математических выражений, останется последний шаг, чтобы правильно и с высокой точностью найти пределы онлайн. Положено на проверку приемлемость выданного решения. Процесс продолжается. Локировать последовательность в изоляции от функций и, применив свой колоссальный опыт, математики должны вычислить предел за обоснованием правильности направления в исследовании. Не нужен такому результату теоретический подъем. Изменить пропорцию чисел внутри некоторой окрестности не нулевой точки на оси абсцисс в сторону калькулятор пределов онлайн изменчивый пространственный угол наклона под написанный задачей в математике. Свяжем две области в пространстве. Разногласия решебников по поводу того как предел функции набирает свойства односторонних значений в пространстве, не может остаться без внимания усиленных подконтрольных выступлений студентов. Направление в математике предел онлайн занял одну из наименьших оспариваемых позиций по поводу неопределенности в вычислениях этих самых пределов. Выучить наизусть студенту поможет на ранней ступени науки калькулятор пределов онлайн за высотой треугольников равнобедренных и кубов со стороной в три радиуса окружности. Оставим на совести учеников решение пределов в исследовании функционирующей математической ослабляемой системы со стороны плоскости исследования. На теории чисел взгляд студента неоднозначен. Каждому свое мнение присуще. Правильное направление в изучении математики поможет вычислить предел в истинном смысле, как это заведено в ВУЗах продвинутых стран. Котангенс в математике вычисляется как калькулятор пределов и есть отношение двух других элементарных тригонометрических функций, а именно косинуса и синуса от аргумента. В этом заключено решение пополам сегментов. Другой подход навряд ли решит ситуацию в пользу прошлого момента. Можно долго говорить, как предел онлайн подробно решать без осмысления очень сложно и бесполезно, однако такой подход склонен к наращиванию внутренней дисциплины студентов в лучшую сторону.

Функция f (x ) называется функцией целочисленного аргумента, если множество значений x , для которых она определена, является множеством всех натуральных чисел1, 2, 3,… Примером функции целочисленного аргумента может служить сумма n первых чисел натурального ряда. В данном случае

Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция целочисленного аргумента, т.е. .

Число А называется пределом последовательности (1), если для любого существует число , такое, что при выполняется неравенство . Если число А есть предел последовательности (1), то пишут

Числовая последовательность не может иметь более одного предела. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Для сходящихся последовательностей имеют место теоремы:

Пример 1.

Найти общий член последовательности 1, 4, 9, 16, 25, …

Р е ш е н и е: нетрудно видеть, что

Следовательно

Пример 2.

Найти общий член последовательности

Р е ш е н и е: не трудно видеть, что

, и т.д.

Следовательно:

Пример 3.

Доказать, что последовательность с общим членом имеет предел, равный нулю.

Р е ш е н и е: запишем ряд членов последовательности

и положим . Для всех членов данной последовательности, начиная с четвертого, выполняется равенство

Действительно

В данном случае N (см. определение предела последовательности) можно принять равным трем (или любому числу, больше трех), так как, если порядковый номер члена последовательности n больше трех, то выполняется неравенство

Положим теперь . Ясно, что для всех членов последовательности начиная с седьмого,

Теперь за N можно принять шесть (или любое число, большее шести). Если , то и т.д.

В данном случае можно найти общее выражение для числа N в зависимости от . Общий член данной последовательности . Задавшись произвольным положительным числом , мы должны в соответствии с определением предела, потребовать, чтобы при n > N выполнялось неравенство , если .

Решая неравенство относительно n, получаем . Итак, за N можно принять число (или любое большее число). Таким образом, мы показали, что для любого существует такое , чтопри , выполняется неравенство , а это и доказывает, что пределом последовательности является нуль.

Отметим, что в этой задаче члены последовательности приближались к своему пределу, оставаясь больше этого предела, как говорят, справа.

2.Способы задания функции.

1. Аналитический способ

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у = f (х), где f (х) - некоторое выражение с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

Для аналитически заданной функции иногда не указывают явно область определения функции. В таком случае подразумевают, что область определения функции у = f (х) совпадает с областью определения выражения f (х), т. е. с множеством тех значений х, при которых выражение f (х) имеет смысл.

Приводятся формулировки основных теорем и свойств числовых последовательностей, имеющих предел. Содержится определение последовательности и ее предела. Рассмотрены арифметические действия с последовательностями, свойства, связанные с неравенствами, критерии сходимости, свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.

Последовательности

Числовой последовательностью называется закон (правило), согласно которому, каждому натуральному числу ставится в соответствие число .
Число называют n-м членом или элементом последовательности.
Далее мы будем считать, что элементами последовательности являются действительные числа.

ограниченной , если существует такое число M , что для всех действительных n .

Верхней гранью последовательности называют наименьшее из чисел, ограничивающее последовательность сверху. То есть это такое число s , для которого для всех n и для любого , найдется такой элемент последовательности , превосходящий s′ : .

Нижней гранью последовательности называют наибольшее из чисел, ограничивающее последовательность снизу. То есть это такое число i , для которого для всех n и для любого , найдется такой элемент последовательности , меньший i′ : .

Верхнюю грань также называют точной верхней границей , а нижнюю грань - точной нижней границей . Понятия верхней и нижней граней справедливы не только к последовательностям, но и к любым множествам действительных чисел.

Определение предела последовательности

Число a называется пределом последовательности , если для любого положительного числа существует такое натуральное число N , зависящее от , что для всех натуральных выполняется неравенство
.
Предел последовательности обозначается так:
.
Или при .

С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела можно записать следующим образом:
.

Открытый интервал (a - ε, a + ε) называют ε - окрестностью точки a .

Последовательность, у которой существует предел называется сходящейся последовательностью . Также говорят, что последовательность сходится к a . Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся .

Точка a не является пределом последовательности , если существует такое , что для любого натурального n существует такое натуральное m > n , что
.
.
Это означает, что можно выбрать такую ε - окрестностью точки a , за пределами которой будет находиться бесконечное число элементов последовательности.

Свойства конечных пределов последовательностей

Основные свойства

Точка a является пределом последовательности тогда и только тогда, когда за пределами любой окрестности этой точки находится конечное число элементов последовательности или пустое множество.

Если число a не является пределом последовательности , то существует такая окрестность точки a , за пределами которой находится бесконечное число элементов последовательности .

Теорема единственности предела числовой последовательности . Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена .

Если каждый элемент последовательности равен одному и тому же числу C : , то эта последовательность имеет предел, равный числу C .

Если у последовательности добавить, отбросить или изменить первые m элементов , то это не повлияет на ее сходимость.

Доказательства основных свойств приведены на странице
Основные свойства конечных пределов последовательностей >>> .

Арифметические действия с пределами

Пусть существуют конечные пределы и последовательностей и . И пусть C - постоянная, то есть заданное число. Тогда
;
;
;
, если .
В случае частного предполагается, что для всех n .

Если , то .

Доказательства арифметических свойств приведены на странице
Арифметические свойства конечных пределов последовательностей >>> .

Свойства, связанные с неравенствами

Если и элементы последовательности, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству .

Если и элементы последовательности, начиная с некоторого номера, принадлежат замкнутому интервалу (сегменту) , то и предел a также принадлежит этому интервалу: .

Если и и элементы последовательностей, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то .

Если и, начиная с некоторого номера, , то .
В частности, если, начиная с некоторого номера, , то
если , то ;
если , то .

Если и , то .

Пусть и . Если a < b , то найдется такое натуральное число N , что для всех n > N выполняется неравенство .

Доказательства свойств, связанных с неравенствами приведены на странице
Свойства пределов последовательностей, связанные с неравенствами >>> .

Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности

Бесконечно малая последовательность

Последовательность называется бесконечно малой последовательностью , если ее предел равен нулю:
.

Сумма и разность конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью.

Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Для того, чтобы последовательность имела предел a , необходимо и достаточно, чтобы , где - бесконечно малая последовательность.

Доказательства свойств бесконечно малых последовательностей приведены на странице
Бесконечно малые последовательности - определение и свойства >>> .

Бесконечно большая последовательность

Последовательность называется бесконечно большой последовательностью , если для любого положительного числа существует такое натуральное число N , зависящее от , что для всех натуральных выполняется неравенство
.
В этом случае пишут
.
Или при .
Говорят, что стремится к бесконечности.

Если , начиная с некоторого номера N , то
.
Если же , то
.

Если последовательность являются бесконечно большой, то, начиная с некоторого номера N , определена последовательность , которая является бесконечно малой. Если являются бесконечно малой последовательностью с отличными от нуля элементами, то последовательность является бесконечно большой.

Если последовательность бесконечно большая, а последовательность ограничена, то
.

Если абсолютные значения элементов последовательности ограничены снизу положительным числом (), а - бесконечно малая с неравными нулю элементами, то
.

Более подробно определение бесконечно большой последовательности с примерами приводится на странице
Определение бесконечно большой последовательности >>> .
Доказательства свойств бесконечно больших последовательностей приведены на странице
Свойства бесконечно больших последовательностей >>> .

Критерии сходимости последовательностей

Монотонные последовательности

Последовательность называется строго возрастающей , если для всех n выполняется неравенство:
.
Соответственно, для строго убывающей последовательности выполняется неравенство:
.
Для неубывающей :
.
Для невозрастающей :
.

Отсюда следует, что строго возрастающая последовательность также является неубывающей. Строго убывающая последовательность также является невозрастающей.

Последовательность называется монотонной , если она неубывающая или невозрастающая.

Монотонная последовательность ограничена, по крайней мере, с одной стороны значением . Неубывающая последовательность ограничена снизу: . Невозрастающая последовательность ограничена сверху: .

Теорема Вейерштрасса . Для того чтобы неубывающая (невозрастающая) последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной сверху (снизу ). Здесь M - некоторое число.

Поскольку любая неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена снизу (сверху), то теорему Вейерштрасса можно перефразировать следующим образом:

Для того чтобы монотонная последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной: .

Монотонная неограниченная последовательность имеет бесконечный предел, равный для неубывающей и для невозрастающей последовательности.

Доказательство теоремы Вейерштрасса приведено на странице
Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности >>> .

Критерий Коши сходимости последовательности

Условие Коши . Последовательность удовлетворяет условию Коши, если для любого существует такое натуральное число , что для всех натуральных чисел n и m , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство
.
Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, также называют фундаментальными последовательностями .

Критерий Коши сходимости последовательности . Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.

Доказательство критерия сходимости Коши приведено на странице
Критерий Коши сходимости последовательности >>> .

Подпоследовательности

Теорема Больцано - Вейерштрасса . Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. А из любой неограниченной последовательности - бесконечно большую подпоследовательность, сходящуюся к или к .

Доказательство теоремы Больцано - Вейерштрасса приведено на странице
Теорема Больцано – Вейерштрасса >>> .

Определения, теоремы и свойства подпоследовательностей и частичных пределов рассмотрены на странице
Подпоследовательности и частичные пределы последовательностей >>>.

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
В.А. Зорич. Математический анализ. Часть 1. Москва, 1997.
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. Москва, 2005.

Пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции, так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала - самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a , то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A , к которому стремится функция при х , стремящемся к определенной точке а . Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim - от английского limit - предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача - найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют , читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х . Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность . Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Еще один вид неопределенностей: 0/0

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0 . Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос "как решать пределы в высшей математике". Если Вам нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь к за быстрым и подробным решением.

Приводится определение конечного предела последовательности. Рассмотрены связанные с этим свойства и эквивалентное определение. Приводится определение, что точка a не является пределом последовательности. Рассмотрены примеры, в которых доказывается существование предела, используя определение.

Здесь мы рассмотрим определение конечного предела последовательности. Случай последовательности, сходящейся к бесконечности, рассмотрен на странице «Определение бесконечно большой последовательности» .

Определение .
{ x n } , если для любого положительного числа ε > 0 существует такое натуральное число N ε , зависящее от ε , что для всех натуральных n > N ε выполняется неравенство
| x n - a| < ε .
Предел последовательности обозначается так:
.
Или при .

Преобразуем неравенство:
;
;
.

Открытый интервал (a - ε, a + ε ) называют ε - окрестностью точки a .

Из определения следует, что, если последовательность имеет предел a , что какую бы ε - окрестностью точки a мы не выбрали, за ее пределами может оказаться, лишь конечное число элементов последовательности, или вообще ни одного (пустое множество). А любая ε - окрестность содержит бесконечное число элементов. В самом деле, задав определенное число ε , мы, тем самым имеем число . Так что все элементы последовательности с номерами , по определению, находятся в ε - окрестностью точки a . Первые элементов могут находиться где угодно. То есть за пределами ε - окрестности может находиться не более элементов - то есть конечное число.

Также заметим, что разность вовсе не обязана монотонно стремиться к нулю, то есть все время убывать. Она может стремиться к нулю не монотонно: может то возрастать, то убывать, имея локальные максимумы. Однако эти максимумы, с ростом n , должны стремиться к нулю (возможно тоже не монотонно).

С помощью логических символов существования и всеобщности, определение предела можно записать следующим образом:
(1) .

Определение, что число a не является пределом

Теперь рассмотрим обратное утверждение, что число a не является пределом последовательности.

Число a не является пределом последовательности , если существует такое , что для любого натурального n существует такое натуральное m > n , что
.

Запишем это утверждение с помощью логических символов.
(2) .

Утверждение, что число a не является пределом последовательности , означает, что
можно выбрать такую ε - окрестность точки a , за пределами которой будет находиться бесконечное число элементов последовательности .

Рассмотрим пример . Пусть задана последовательность с общим элементом
(3)
Любая окрестность точки содержит бесконечное число элементов. Однако эта точка не является пределом последовательности, поскольку и любая окрестность точки также содержит бесконечное число элементов. Возьмем ε - окрестность точки с ε = 1 . Это будет интервал (-1, +1) . Все элементы, кроме первого, с четными n принадлежат этому интервалу. Но все элементы с нечетными n находятся за пределами этого интервала, поскольку они удовлетворяют неравенству x n > 2 . Поскольку число нечетных элементов бесконечно, то за пределами выбранной окрестности будет находиться бесконечное число элементов. Поэтому точка не является пределом последовательности.

Теперь покажем это, строго придерживаясь утверждения (2). Точка не является пределом последовательности (3), поскольку существует такое , так что, для любого натурального n , существует нечетное , для которого выполняется неравенство
.

Также можно показать, что любая точка a не может являться пределом этой последовательности. Мы всегда можем выбрать такую ε - окрестность точки a , которая не содержит либо точку 0, либо точку 2. И тогда за пределами выбранной окрестности будет находиться бесконечное число элементов последовательности.

Эквивалентное определение

Можно дать эквивалентное определение предела последовательности, если расширить понятие ε - окрестности. Мы получим равносильное определение, если в нем, вместо ε - окрестности, будет фигурировать любая окрестность точки a .

Определение окрестности точки
Окрестностью точки a называется любой открытый интервал, содержащий эту точку. Математически окрестность определяется так: , где ε 1 и ε 2 - произвольные положительные числа.

Тогда определение предела будет следующим.

Эквивалентное определение предела последовательности
Число a называется пределом последовательности , если для любой ее окрестности существует такое натуральное число N , что все элементы последовательности с номерами принадлежат этой окрестности.

Это определение можно представить и в развернутом виде.

Число a называется пределом последовательности , если для любых положительных чисел и существует такое натуральное число N , зависящее от и , что для всех натуральных выполняются неравенства
.

Доказательство равносильности определений

Докажем, что, представленные выше, два определения предела последовательности равносильны.

Пусть число a является пределом последовательности согласно первому определению. Это означает, что имеется функция , так что для любого положительного числа ε выполняются неравенства:
(4) при .

Покажем, что число a является пределом последовательности и по второму определению. То есть нам нужно показать, что существует такая функция , так что для любых положительных чисел ε 1 и ε 2 выполняются неравенства:
(5) при .

Пусть мы имеем два положительных числа: ε 1 и ε 2 . И пусть ε - наименьшее из них: . Тогда ; ; . Используем это в (5):
.
Но неравенства выполняются при . Тогда и неравенства (5) выполняются при .

То есть мы нашли такую функцию , при которой выполняются неравенства (5) для любых положительных чисел ε 1 и ε 2 .
Первая часть доказана.

Теперь пусть число a является пределом последовательности согласно второму определению. Это означает, что имеется функция , так что для любых положительных чисел ε 1 и ε 2 выполняются неравенства:
(5) при .

Покажем, что число a является пределом последовательности и по первому определению. Для этого нужно положить . Тогда при выполняются неравенства:
.
Это соответствует первому определению с .
Равносильность определений доказана.

Примеры

Здесь мы рассмотрим несколько примеров, в которых требуется доказать, что заданное число a является пределом последовательности. При этом нужно задать произвольные положительное число ε и определить функцию N от ε такую, что для всех выполняется неравенство .

Пример 1

Доказать, что .

(1) .
В нашем случае ;
.

.
Воспользуемся свойствами неравенств . Тогда если и , то
.

.
Тогда
при .
Это означает, что число является пределом заданной последовательности:
.

Пример 2

С помощью определения предела последовательности доказать, что
.

Выпишем определение предела последовательности:
(1) .
В нашем случае , ;
.

Вводим положительные числа и :
.
Воспользуемся свойствами неравенств . Тогда если и , то
.

То есть, для любого положительного , мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
Тогда
при .
.

Пример 3

Вводим обозначения , .
Преобразуем разность:
.
Для натуральных n = 1, 2, 3, ... имеем:
.

Выпишем определение предела последовательности:
(1) .
Вводим положительные числа и :
.
Тогда если и , то
.

То есть, для любого положительного , мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
При этом
при .
Это означает, что число является пределом последовательности :
.

Пример 4

Используя определение предела последовательности доказать, что
.

Выпишем определение предела последовательности:
(1) .
В нашем случае , ;
.

Вводим положительные числа и :
.
Тогда если и , то
.

То есть, для любого положительного , мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
Тогда
при .
Это означает, что число является пределом последовательности :
.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.