Факты о десятичных дробях. Проект "из истории дробей"

Ищенко Александра

Одна из презентаций учеников 6-го класса выполненных в рамках проекта "Из истории дробей". В ходе исследовательской деятельности ученики должны были ответить на вопрос: обыкновенная дробь - это изобретение математиков или понятие из практической деятельности человека. В ходе изучения истории возникновения дробей в различных странах и в разные исторические эпохи, ученики дают ответ на этот вопрос. В презентации приведены интересные факты и представлены фотографии старинных математических книг. Данная презентация может быть использована на уроках изучения темы "Дроби", для развития интереса к предмету.

Скачать:

Подписи к слайдам:

С древних времён людям приходилось не только считать предметы,

для чего требовались натуральные числа, но и измерять длину, время, площадь. Не всегда результат измерения выражался натуральным числом, приходилось учитывать части и доли. Так появились дроби.

Ищенко Саша, 6Д класс,

МОУ «Гимназия №87», 2009г.

Первые упоминания о дробях найдены на глиняных табличках Древнего Вавилона.

Это государство находилось в долинах рек Тигр и Евфрат примерно за три тысячи лет до нашей эры.

Вавилонские «тексты» доходят до нас в виде глиняных табличек, обычно примерно размера ладони. Они написаны клинописью, клинообразным алфавитом.

Их арифметика имела основание 60, в вавилонской математике пользовались шестидесятеричной системой для целых чисел и дробей, дроби записывались с постоянным знаменателем равным 60-ти.

Например,

Позднее древние египтяне ввели в обращение дроби 1/2, 1/3, 1/28 – их называли основными или единичными, было специальное обозначение для дроби 2/3, не совпадающее с обозначениями для других дробей.

Все остальные дроби египтяне старались записать как суммы долей, т.е. дробей вида 1/n.

Например, вместо 8/15 они писали 1/3+1/5. Иногда это бывало удобно

Древнеегипетский папирус около 2000 лет до н.э.

Методы подсчетов при помощи единичных дробей перешли от египтян в Грецию, от греков к арабам, а от них уже в Западную Европу.

Интересная система дробей была в Древнем Риме. Единица массы 1 асс делился на 12 долей, сообразно с этим римляне пользовались двенадцатеричными дробями.

Дробь, которую мы называем 1/12, римляне именовали "унцией", хотя бы она употреблялась для измерения длины или иной величины; дробь, которую мы называем 1/8, римляне называли "полторы унции" и тому подобное.

Римлянин мог сказать, что он прошёл 7 унций пути или прочитал 5 унций книги. При этом конечно, не взвешивали путь или книгу.

Имелось в виду, что пройдено 7/12 долей пути или прочитано 5/12 частей книги.

Современная система записи дробей с числителем и знаменателем была создана в древней Индии, только дробной черты индийцы не писали.
Правила действий с дробями, изложенные индийским учёным Брахмагуптой (8 век н. э.), лишь немногим отличаются от наших, Индийское обозначение дробей и правила действий над ними были усвоены в 9 веке в мусульманских странах благодаря узбекскому учёному Мухаммеду Хорезмскому (аль-Хваризми).

Они были перенесены в Западную Европу итальянским купцом и учёным Леонардо Фибоначчи из Пизы (13 век).

Леона́рдо Пиза́нский

около 1170 - 1250 г.

Дроби в Древней Руси называли долями, позднее ломаными числами. Так у дробей с числителем 1 были свои названия.

1\2- половина, полтина.

1\3 - треть.

1\4 - четь.

1\6 - полтреть.

1\8- полчеть.

1\12- полполтреть.

1\10 – десятина (1,09 га)

МАГНИЦКИЙ

Леонтий Филиппович (1669-1739)

Страница первого

русского учебника «Арифметика»

Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века. И только при Петре I стала вводится десятеричная система счисления, которая и сохранилась до наших дней. В 1903 г вышла в свет “Арифметика” Л. Ф. Магницкого. В которой в первой части изложены действия с целыми числами, во второй - с ломаными, т.е. дробями.

После изучения этой темы в различной литературе и «интернет»,

Я пришла к выводу:

Обыкновенная дробь – это не изобретение математиков, это понятие,

которое люди разных стран и в разные исторические периоды сами

Придумали и использовали в своей жизни.

Каждый народ придумывал свои названия и запись дробей.

Математики только систематизировали это и

придумали удобную форму записи.

4. http://images.yandex.ru/yandsearch?

5. http://ru.wikipedia.org/wiki

3. http://kosilova.textdriven.com/narod/studia3/math/translatio/babylon.htm

Литература

2. Энциклопедия. Я познаю мир. Великие ученые. – М.: ООО «Издательство АСТ», 2003;

1.Энциклопедия. Я познаю мир. Математика. – М.: ООО «Издательство АСТ»,

Павликова Е.В. (, МАОУ Дятьковская СОШ № 5)

1. Анищенко Е. А. Число как основное понятие математики. Мариуполь, 2002.

2. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика. 5 класс: учеб.для общеобразовательных учреждений. – 26–е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2009. – 280 с.

3. Гейзер Г.И. История математики в школе. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981. – 239 с.

4. Математика. 5 класс: учеб.для общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. 11–е изд, дораб. – М.: Просвещение, 2016. – 272 с. – (МГУ – школе).

5. Математический энциклопедический словарь. – М., 1988.

6. Драгунский В. Надо иметь чувство юмора. – Режим доступа: http://peskarlib.ru/lib.phpid_sst=248.

7. Из истории дробей. Режим доступа: http://schools.keldysh.ru/sch1905/drobi/history.htm.

8. Материал из Википедии – свободной энциклопедии. Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki.

9. Цитаты. Режим доступа: http://citaty.socratify.net/lev-tolstoi/25013.

Изучение дробей продиктовано самой жизнью. Умение выполнять различные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, так как с дробями мы сталкиваемся в повседневной жизни. Я захотела узнать, откуда появилось название этих чисел; кто придумал эти числа, нужна ли тема «Дроби», которую мы изучаем в школе, в моей жизни.

Объект исследования: история возникновения обыкновенных дробей.

Предмет исследования: обыкновенные дроби.

Гипотеза : если бы не было дробей - могла бы развиваться математика?

Цель работы : оформление в кабинете математики стенда «Математика вокруг нас» интересными фактами о дробях.

Задачи:

1. Изучить историю возникновения дробей в математике;

2. Отобрать наиболее интересные факты о дробях, которые можно использовать для составления разделов стенда.

3. Оформить стенд в кабинете математики.

Живя в окружении дробей, мы не всегда их явно замечаем. Тем не менее, мы сталкиваемся с ним очень часто: дома, на улице, в магазине. Просыпаясь утром, мы смотрим на будильник и встречаемся с дробями. Мы используем дроби, когда взвешивают товар в магазине. В измерениях, когда определяют объем груза. Дроби окружают нас везде. С помощью дробей мы можем измерять длины, делить целое на части. А как измерить рост человека или расстояние между объектами, не зная дробей? Всё вокруг - дроби!

Актуальность : Современная жизнь делает задачи на дроби актуальными, так как сфера практического приложения дробей расширяется.

Методы исследования:

1. Поиск информации о дробях в различных источниках: интернете, художественной литературе, учебниках.

2. Анализ, сравнение, обобщение и систематизация информации.

Из истории обыкновенных дробей

Возникновение дробей

С самых древних времён для решения жизненных практических вопросов людям приходилось считать предметы и измерять величины, то есть отвечать на вопросы «Сколько?»: сколько овец в стаде, сколько мер зерна собрано с поля, сколько верст от уездного центра и т. д. Так появились числа. Не всегда результат измерения или стоимость товара удавалось выразить натуральным числом. Когда человеку понадобилось придумать новые - дробные - числа, появились дроби. В древности к целым и дробным числам относились по-разному: предпочтения были на стороне целых чисел. «Если ты захочешь делить единицу, математики высмеют тебя и не позволят этого делать», - писал основатель афинской Академии Платон.

Во всех цивилизациях понятие дроби возникло из процесса дробления целого на равные части. Русский термин «дробь», как и его аналоги в других языках, происходит от лат. «fractura», который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять. Поэтому, вероятно, первыми дробями везде были дроби вида 1/n. Дальнейшее развитие естественным образом идет в сторону рассмотрения этих дробей как единиц, из которых могут быть составлены дроби m/n - рациональные числа. Однако этот путь был пройден не всеми цивилизациями: например, он так и не реализовался в древнеегипетской математике.

Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Хотя названия всех следующих дробей связаны с названиями их знаменателей (три - «треть», четыре - «четверть» и т. д.), для половины это не так - ее название во всех языках не имеет ничего общего со словом «два».

Система записи дробей, правила действий с ними заметно различались как у разных народов, так и в разные времена у одного и того же народа. Важную роль играли также многочисленные заимствования идей при культурных контактах различных цивилизаций.

Дроби на Руси

В русском языке слово «дробь» появилось в VIII веке, оно происходит от глагола «дробить» - разбивать, ломать на части. Современное обозначение дробей берет своё начало в Древней Индии: его стали использовать и арабы.

В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси:

Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.

Использовалась в России земельная мера четверть и более мелкая - получетверть, которая называлась осьмина. Это были конкретные дроби, единицы для измерения площади земли, но осьминой нельзя было измерить время или скорость и др. Значительно позднее осьмина стала означать отвлеченную дробь 1/8, которой можно выразить любую величину. О применении дробей в России XVII века можно прочитать в книге В. Беллюстина «Как постепенно люди дошли до настоящей арифметики» следующее: «В рукописи XVII в. «Статиячисленная о всяких долях указ «начинается прямо с письменного обозначения дробей и с указания числителя и знаменателя. При выговаривании дробей интересны такие особенности: четвертая часть называлась четью, доли же со знаменателем от 5 до 11 выражались словами с окончанием «ина», так что 1/7 - седмина, 1/5 - пятина, 1/10 - десятина; доли же со знаменателями, большими 10, выговаривались с помощью слов «жеребей», например 5/13 - пять тринадцатых жеребьёв. Нумерация дробей была прямо заимствована из западных источников. Числитель назывался верхним числом, знаменатель исподним».

Дроби в других государствах древности

Все правила счёта древних египтян основывались на умении складывать и вычитать, удваивать числа и дополнять дроби до единицы. Для дробей были специальные обозначения. Египтяне использовали дроби вида1/n, где n - натуральное число. Такие дроби называются аликвотными. Иногда вместо деления m:n производили умножение m. n.

Для этого применяли специальные таблицы. Надо сказать, что действия с дробями составляли особенность египетской арифметики, в которой самые простые вычисления порой превращались в сложные задачи. (Приложение).

Приложение

Стенд «Математика вокруг нас»

Таблица «Запись дробей в Египте»

Эта таблица помогала производить сложные арифметические выкладки согласно принятым канонам. По-видимому, писцы заучивали ее наизусть, так же, как сейчас школьники запоминают таблицу умножения. С помощью этой таблицы выполняли и деление чисел. Умели египтяне также умножать и делить дроби. Но для умножения приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Еще сложнее обстояло дело с делением.

Египтяне уже в глубокой древности знали, как поделить 2 яблока на троих: для этого числа у них был даже специальный значок. Между прочем это была единственная дробь в обиходе египетских писцов, у которой в числителе не стояла единица - все остальные дроби непременно имели в числителе 1 (так называемый основные дроби): 1/2, 1/3, 1/17, ... и т. д. Такое отношение к дробям присутствовало очень долго. Уже погибла цивилизация древнего Египта, некогда зелёный край поглотили пески Сахары, а дроби всё раскладывали в сумму основных - вплоть до эпохи Возрождения!

В Китае практически все арифметические операции с обыкновенными дробями были установлены уже ко II в. до н. э.; они описаны в фундаментальном своде математических знаний древнего Китая - «Математике в девяти книгах», окончательная редакция которой принадлежит Чжан Цану. Вычисляя на основе правила, аналогичного алгоритму Евклида, (наибольший общий делитель числителя и знаменателя), китайские математики сокращали дроби. Умножение дробей представлялось как нахождение площади прямоугольного земельного участка, длина и ширина которого выражены дробными числами. Деление рассматривалось с помощью идеи дележа, при этом китайских математиков не смущало, что число участников дележа может быть дробным, например, 3 1/2 человека.

Первоначально китайцы использовали простейшие дроби, которые получили наименования с использованием иероглифа бань:

Бань («половина») -1\2;

Шао бань («малая половина») -1\3;

Тай бань («большая половина») -2\3.

Интересно, что вавилоняне предпочитали, постоянный знаменатель (равный 60, потому, видимо, что их система счисления была шестидесятиричной).

Римляне тоже пользовались лишь одним знаменателем, равным 12.

Дальнейшее развитие понятия обыкновенной дроби было достигнуто в Индии. Математики этой страны сумели достаточно быстро перейти от единичных дробей к дробям общего вида. Впервые такие дроби встречаются в «Правилах веревки» Апастамбы (VII-Vв. до н.э.), которые содержат геометрические построения и результаты некоторых вычислений. В Индии использовалась система записи - возможно, китайского, а возможно, позднегреческого происхождения, - при которой числитель дроби писался над знаменателем - как у нас, но без дробной черты, зато вся дробь помещалась в прямоугольную рамку.

Индийское обозначение дробей и правила действий над ними были усвоены в IX в. в мусульманских странах благодаря Мухаммеду Хорезмскому (аль-Хорезми). В торговой практике стран Ислама широко пользовались единичными дробями, в науке применяли шестидесятиричные дроби и в гораздо меньшей мере обыкновенные дроби.

Занимательные дроби

«Без знания дробей никто не может признаваться знающим арифметику!»

Когда бы люди ни использовали деньги, они обязательно встречаются с дробями: в средневековье, 1 английский пенс = 1/12 шиллинга; в настоящее время, российская копейка =1/100 рубля.

Мерные системы несут в себе дроби: 1сантиметр = 1/10 дециметра = 1/100 метра.

В любые времена в моде присутствовали дроби. Всегда актуален фасон рукава три четверти. А укороченные брюки 7/8 - это прекрасная деталь гардероба.

С дробями можно встретиться на разных уроках. Например, в географии: «Во времена существования СССР, Россия занимала одну шестую часть суши. Теперь Россия занимает одну девятую часть суши». В изобразительном искусстве - при изображении фигуры человека. В музыке - ритм, размер музыкального произведения.

Человек встречается со словом «дробь» в жизни:

Мелкие свинцовые шарики для стрельбы из охотничьего ружья - дробь.

Частые, прерывистые звуки - барабанная дробь.

На флоте, команда «дробь!» - прекращение огня.

Нумерация домов. Номер через дробь ставят у домов, пронумерованных по двум пересекающимся улицам.

Дробь в танце. Русский народный танец невозможно представить без дробей и бега.

Выбивать дробь зубами - стучать зубами (дрожа от холода, испуга).

В художественной литературе. Дениска, герой рассказа Виктора Драгунского «Надо иметь чувство юмора», задал однажды приятелю Мишке задачу: как разделить два яблока на троих поровну? И когда Мишка, наконец, сдался, торжествующе объявил ответ: «Сварить компот!» Мишка с Денисом ещё не проходили дробей и твёрдо знали, что 2 на 3 не делится?

Собственно говоря, «сварить компот» - это действия с дробями. Порежем яблоки на кусочки и будем количества этих кусочков складывать и вычитать, умножать и делить - кто нам помешает?.. Нам важно только помнить, сколько мелких кусочков составляют целое яблоко…

Но это не единственное решение данной задачи! Надо каждое яблоко поделить на три части и раздать всем троим по две таких части.

На протяжении многих веков на языках народов ломаным числом именовали дробь. Например, нужно разделить поровну что-то, например, конфету, яблоко, кусочек сахара и т. п. Для этого кусочек сахара надо расколоть или разломить на две равные половины. Так же и с числами, чтобы получить половину, надо разделить или «разломить» одну единицу на две части. Отсюда и пошло название «ломанные» числа.

Различают три вида дробей:

1. Единичные (аликвоты) или доли (например,1/2, 1/3, 1/4, и т.д.).

2. Систематические, т.е дроби, у которых знаменатель выражается степенью числа (например, степенью числа 10 или 60 и т.д.).

3. Общего вида, у которых числителем и знаменателем может быть любое число.

Существуют дроби «ложные» - неправильные и «реальные» - правильные.

Дробь в математике - форма представления математических величин с помощью операции деления, первоначально отражающая концепцию нецелых чисел, или долей. В простейшем случае - числовая дробь - отношение двух чисел

В дроби m/n (читается: «эм энных») число m, находящееся над чертой, называется числителем, а число n, находящееся под чертой - знаменателем. Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, а числитель показывает, сколько таких частей взяли. Черту дроби можно понимать как знак деления.

Первым европейским учёным который стал использовать и распространять современную запись дробей, был итальянский купец и путешественник, сын городского писаря Фиббоначи (Леонардо Пизанский).

В 1202 году он ввёл слово «дробь».

Названия числитель и знаменатель ввел в 13 веке Максим Плануд - греческий монах, ученый, математик.

Современную систему записи дробей создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель снизу, и не писали дробной черты. А записывать дроби как сейчас стали арабы. Действия над дробями в средние века считались самой сложной областью математики. До сих пор немцы говорят про человека, попавшего в затруднительное положение, что он «попал в дроби».

Обыкновенные дроби сыграли свою роль и в музыке. И сейчас в определённой нотной записи длинная нота -целая - делится на половинки (вдвое короче), четверти, шестнадцатые и тридцать вторые. Таким образом, ритмичный рисунок любого музыкального произведения, каким бы он сложным ни был, определяется обыкновенными дробями. Гармония оказалась тесно связанной с дробями, что подтверждало основную мысль европейцев: «Число правит миром».

«Человек подобен дроби: числитель - это он сам, а знаменатель то, что он о себе думает. Чем больше знаменатель, тем меньше дробь» (Л.Н. Толстой) .

Основные результаты исследования

Учение о дробях считалось самым трудным разделом математики во все времена и у всех народов. Кто знал дроби, был в почете. Автор старинной славянской рукописи XVв. пишет: «Несть се дивно, что …в целых, но есть похвально, что в долях…».

При работе я узнала много нового и интересного. Прочитала много книг и разделов из энциклопедий. Познакомилась с первыми дробями, которыми оперировали люди, с понятием аликвотная дробь, узнала новые для меня имена ученых, внесших свой вклад в развитие учения о дробях. В процессе выполнения работы я узнала много нового, думаю, что эти знания пригодятся в учебе.

Вывод: Необходимость в дробях возникла на очень ранней ступени развития человека. В жизни человеку приходилось не только считать предметы, но и измерять величины. Люди измеряли длины, площади земельных участков, объемы, массы тел, время, вели расчеты за купленные или проданные товары. Не всегда результат измерения или стоимость товара удавалось выразить натуральным числом. Так появились дроби и правила обращения с ними.

Практическая значимость работы

Я освоила навыки работы в текстовом редакторе и поработала с ресурсами Интернета. Отобрала материал для оформления в кабинете математики стенда «Математика вокруг нас» интересными фактами о дробях (Приложение). И оформила стенд (Приложение).

В результате исследования я подтвердила гипотезу: не могли люди обойтись без дробей, без дробей - не могла бы развиваться математика.

Библиографическая ссылка

Балбуцкая А.А. ИНТЕРЕСНОЕ О ДРОБЯХ // Старт в науке. – 2017. – № 5-2. – С. 265-268;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=874 (дата обращения: 29.08.2019).

Одним из самых сложных разделов математики по сей день считаются дроби. История дробей насчитывает не одно тысячелетие. Умение делить целое на части возникло на территории древнего Египта и Вавилона. С годами усложнялись операции, проделываемые с дробями, менялась форма их записи. У каждого были свои особенности во «взаимоотношениях» с этим разделом математики.

Что такое дробь?

Когда возникла необходимость делить целое на части без лишних усилий, тогда и появились дроби. История дробей неразрывна связана с решением утилитарных задач. Сам термин «дробь» имеет арабские корни и происходит от слова, обозначающего «ломать, разделять». С древних времен в этом смысле мало что изменилось. Современное определение звучит следующим образом: дробь — это часть или сумма частей единицы. Соответственно, примеры с дробями представляют собой последовательное выполнение математических операций с долями чисел.

Сегодня различают два способа их записи. возникли в разное время: первые являются более древними.

Пришли из глубины веков

Впервые оперировать дробями начали на территории Египта и Вавилона. Подход математиков двух государств имел значительные отличия. Однако начало и там и там было положено одинаково. Первой дробью стала половина или 1/2. Дальше возникла четверть, треть и так далее. Согласно данным археологических раскопок, история возникновения дробей насчитывает около 5 тысяч лет. Впервые доли числа встречаются в египетских папирусах и на вавилонских глиняных табличках.

Древний Египет

Виды обыкновенных дробей сегодня включают в себя и так называемые египетские. Они представляют собой сумму нескольких слагаемых вида 1/n. Числитель — всегда единица, а знаменатель — натуральное число. Появились такие дроби, как ни трудно догадаться, в древнем Египте. При расчетах все доли старались записывать в виде таких сумм (например, 1/2 + 1/4 + 1/8). Отдельными обозначениями обладали только дроби 2/3 и 3/4, остальные разбивались на слагаемые. Существовали специальные таблицы, в которых доли числа представлялись в виде суммы.

Наиболее древнее из известных упоминаний такой системы встречается в Математическом папирусе Ринда, датируемом началом второго тысячелетия до нашей эры. Он включает таблицу дробей и математические задачи с решениями и ответами, представленными в виде сумм дробей. Египтяне умели складывать, делить и умножать доли числа. Дроби в долине Нила записывались с помощью иероглифов.

Представление доли числа в виде суммы слагаемых вида 1/n, характерное для древнего Египта, использовалось математиками не только этой страны. Вплоть до Средних веков египетские дроби применялись на территории Греции и других государств.

Развитие математики в Вавилоне

Иначе выглядела математика в Вавилонском царстве. История возникновения дробей здесь напрямую связана с особенностями системы счисления, доставшейся древнему государству в наследство от предшественника, шумеро-аккадской цивилизации. Расчетная техника в Вавилоне была удобнее и совершеннее, чем в Египте. Математика в этой стране решала гораздо больший круг задач.

Судить о достижениях вавилонян сегодня можно по сохранившимся глиняным табличкам, заполненным клинописью. Благодаря особенностям материала они дошли до нас в большом количестве. По мнению некоторых в Вавилоне раньше Пифагора открыли известную теорему, что, несомненно, свидетельствует о развитии науки в этом древнем государстве.

Дроби: история дробей в Вавилоне

Система счисления в Вавилоне была шестидесятеричной. Каждый новый разряд отличался от предыдущего на 60. Такая система сохранилась в современном мире для обозначения времени и величин углов. Дроби также были шестидесятеричными. Для записи использовали специальные значки. Как и в Египте, примеры с дробями содержали отдельные символы для обозначения 1/2, 1/3 и 2/3.

Вавилонская система не исчезла вместе с государством. Дробями, написанными в 60-тиричной системе, пользовались античные и арабские астрономы и математики.

Древняя Греция

История обыкновенных дробей мало чем обогатилась в древней Греции. Жители Эллады считали, что математика должна оперировать лишь целыми числами. Поэтому выражения с дробями на страницах древнегреческих трактатов практически не встречались. Однако определенный вклад в этот раздел математики внесли пифагорейцы. Они понимали дроби как отношения или пропорции, а единицу считали также неделимой. Пифагор с учениками построил общую теорию дробей, научился проводить все четыре арифметические операции, а также сравнение дробей путем приведения их к общему знаменателю.

Священная римская империя

Римская система дробей была связана с мерой веса, называемой «асс». Она делилась на 12 долей. 1/12 асса называлась унцией. Для обозначения дробей существовало 18 названий. Приведем некоторые из них:

семис — половина асса;

секстанте — шестая доля асса;

семиунция — пол-унции или 1/24 асса.

Неудобство такой системы заключалось в невозможности представить число в виде дроби со знаменателем 10 или 100. Римские математики преодолели трудность с помощью использования процентов.

Написание обыкновенных дробей

В Античности дроби уже писали знакомым нам образом: одно число над другим. Однако было одно существенное отличие. Числитель располагался под знаменателем. Впервые так писать дроби начали в древней Индии. Современный нам способ стали использовать арабы. Но никто из названных народов не применял горизонтальную черту для разделения числителя и знаменателя. Впервые она появляется в трудах Леонардо Пизанского, более известного как Фибоначчи, в 1202 году.

Китай

Если история возникновения обыкновенных дробей началась в Египте, то десятичные впервые появились в Китае. В Поднебесной империи их стали использовать примерно с III века до нашей эры. История десятичных дробей началась с китайского математика Лю Хуэя, предложившего использовать их при извлечении квадратных корней.

В III веке нашей эры десятичные дроби в Китае стали применяться при расчете веса и объема. Постепенно они все глубже начали проникать в математику. В Европе, однако, десятичные дроби стали использоваться гораздо позже.

Аль-Каши из Самарканда

Независимо от китайских предшественников десятичные дроби открыл астроном аль-Каши из древнего города Самарканда. Жил и трудился он в XV веке. Свою теорию ученый изложил в трактате «Ключ к арифметике», увидевшем свет в 1427 году. Аль-Каши предложил использовать новую форму записи дробей. И целая, и дробная часть теперь писались в одной строке. Для их разделения самаркандский астроном не использовал запятую. Он писал целое число и дробную часть разными цветами, используя черные и красные чернила. Иногда для разделения аль-Каши также применял вертикальную черту.

Десятичные дроби в Европе

Новый вид дробей начал появляться в трудах европейских математиков с XIII века. Нужно заметить, что с трудами аль-Каши, как и с изобретением китайцев они знакомы не были. Десятичные дроби появились в трудах Иордана Неморария. Затем их использовал уже в XVI веке Французский ученый написал «Математический канон», в котором содержались тригонометрические таблицы. В них Виет использовал десятичные дроби. Для разделения целой и дробной части ученый применял вертикальную черту, а также разный размер шрифта.

Однако это были лишь частные случаи научного использования. Для решения повседневных задач десятичные дроби в Европе стали применяться несколько позже. Произошло это благодаря голландскому ученому Симону Стевину в конце XVI века. Он издал математический труд «Десятая» в 1585 году. В нем ученый изложил теорию использования десятичных дробей в арифметике, в денежной системе и для определения мер и весов.

Точка, точка, запятая

Стевин также не пользовался запятой. Он отделял две части дроби при помощи нуля, обведенного в круг.

Впервые запятая разделила две части десятичной дроби только в 1592 году. В Англии, однако, вместо нее стали применять точку. На территории США до сих пор десятичные дроби пишут именно таким образом.

Одним из инициаторов использования обоих знаков препинания для разделения целой и дробной части был шотландский математик Джон Непер. Он высказал свое предложение в 1616-1617 гг. Запятой пользовался и немецкий ученый

Дроби на Руси

На русской земле первым математиком, изложившим деление целого на части, стал новгородский монах Кирик. В 1136 году он написал труд, в котором изложил метод «счисления лет». Кирик занимался вопросами хронологии и календаря. В своем труде он привел в том числе и деление часа на части: пятые, двадцать пятые и так далее доли.

Деление целого на части применялось при расчете размера налога в XV-XVII веках. Использовались операции сложения, вычитания, деления и умножения с дробными частями.

Само слово «дробь» появилось на Руси в VIII веке. Оно произошло от глагола «дробить, разделять на части». Для названия дробей наши предки использовали специальные слова. Например, 1/2 обозначалась как половина или полтина, 1/4 — четь, 1/8 — полчеть, 1/16 — полполчеть и так далее.

Полная теория дробей, мало чем отличающаяся от современной, была изложена в первом учебнике по арифметике, написанном в 1701 году Леонтием Филипповичем Магницким. «Арифметика» состояла из нескольких частей. О дробях подробно автор рассказывает в разделе «О числах ломаных или с долями». Магницкий приводит операции с «ломанными» числами, разные их обозначения.

Сегодня по-прежнему в числе самых сложных разделов математики называются дроби. История дробей также не была простой. Разные народы иногда независимо друг от друга, а иногда заимствуя опыт предшественников, пришли к необходимости введения, освоения и применения долей числа. Всегда учение о дробях вырастало из практических наблюдений и благодаря насущным проблемам. Необходимо было делить хлеб, размечать равные участки земли, высчитывать налоги, измерять время и так далее. Особенности применения дробей и математических операций с ними зависели от системы счисления в государстве и от общего уровня развития математики. Так или иначе, преодолев не одну тысячу лет, раздел алгебры, посвященный долям чисел, сформировался, развился и с успехом используется сегодня для самых разных нужд как практического характера, так и теоретического.

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Объект исследования: история возникновения обыкновенных дробей.

Предмет исследования: обыкновенные дроби.

Гипотеза: если бы не было дробей - могла бы развиваться математика?

Цель работы: оформление в кабинете математики стенда «Математика вокруг нас» интересными фактами о дробях.

Задачи:

Изучить историю возникновения дробей в математике;

Отобрать наиболее интересные факты о дробях, которые можно использовать для составления разделов стенда.

Оформить стенд в кабинете математики.

Актуальность: Современная жизнь делает задачи на дроби актуальными, так как сфера практического приложения дробей расширяется.

Методы исследования:

1. Поиск информации о дробях в различных источниках: интернете, художественной литературе, учебниках.

2. Анализ, сравнение, обобщение и систематизация информации.

1. Из истории обыкновенных дробей

1.1. Возникновение дробей

1.2. Дроби на Руси

В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси:

1.3. Дроби в других государствах древности

Все правила счёта древних египтян основывались на умении складывать и вычитать, удваивать числа и дополнять дроби до единицы. Для дробей были специальные обозначения. Египтяне использовали дроби вида1/n, где n - натуральное число. Такие дроби называются аликвотными . Иногда вместо деления m:n производили умножение m∙ n.

В Китае практически все арифметические операции с обыкновенными дробями были установлены уже ко II в. до н. э.; они описаны в фундаментальном своде математических знаний древнего Китая - «Математике в девяти книгах», окончательная редакция которой принадлежит Чжан Цану. Вычисляя на основе правила, аналогичного алгоритму Евклида, (наибольший общий делитель числителя и знаменателя), китайские математики сокращали дроби. Умножение дробей представлялось как нахождение площади прямоугольного земельного участка, длина и ширина которого выражены дробными числами. Деление рассматривалось с помощью идеи дележа, при этом китайских математиков не смущало, что число участников дележа может быть дробным, например, 3⅓ человека.

бань («половина») -12;

шао бань («малая половина») -13;

тай бань («большая половина») -23. Интересно, что вавилоняне предпочитали, постоянный знаменатель (равный 60, потому, видимо, что их система счисления была шестидесятиричной).

Римляне тоже пользовались лишь одним знаменателем, равным 12.

Дальнейшее развитие понятия обыкновенной дроби было достигнуто в Индии . Математики этой страны сумели достаточно быстро перейти от единичных дробей к дробям общего вида. Впервые такие дроби встречаются в «Правилах веревки» Апастамбы (VII-Vв. до н.э.), которые содержат геометрические построения и результаты некоторых вычислений. В Индии использовалась система записи - возможно, китайского, а возможно, позднегреческого происхождения, - при которой числитель дроби писался над знаменателем - как у нас, но без дробной черты, зато вся дробь помещалась в прямоугольную рамку.

Занимательные дроби

«Без знания дробей никто не может признаваться знающим арифметику!» (Цицерон)

Мерные системы несут в себе дроби: 1сантиметр = 1/10 дециметра = 1/100 метра.

С дробями можно встретиться на разных уроках . Например, в географии: «Во времена существования СССР, Россия занимала одну шестую часть суши. Теперь Россия занимает одну девятую часть суши». В изобразительном искусстве - при изображении фигуры человека. В музыке - ритм, размер музыкального произведения.

Человек встречается со словом «дробь» в жизни :

Мелкие свинцовые шарики для стрельбы из охотничьего ружья - дробь.

Частые, прерывистые звуки - барабанная дробь.

На флоте, команда «дробь!» — прекращение огня.

Нумерация домов. Номер через дробь ставят у домов, пронумерованных по двум пересекающимся улицам.

Дробь в танце. Русский народный танец невозможно представить без дробей и бега.

Выбивать дробь зубами - стучать зубами (дрожа от холода, испуга).

В художественной литературе . Дениска, герой рассказа Виктора Драгунского «Надо иметь чувство юмора», задал однажды приятелю Мишке задачу: как разделить два яблока на троих поровну? И когда Мишка, наконец, сдался, торжествующе объявил ответ: «Сварить компот!» Мишка с Денисом ещё не проходили дробей и твёрдо знали, что 2 на 3 не делится?

Но это не единственное решение данной задачи! Надо, каждое яблоко поделить на три части и раздать всем троим по две таких части.

На протяжении многих веков на языках народов ломаным числом именовали дробь. Например, нужно разделить поровну что-то, например, конфету, яблоко, кусочек сахара и т. п. Для этого кусочек сахара надо расколоть или разломить на две равные половины. Так же и с числами, чтобы получить половину, надо разделить или "разломить" одну единицу на две части. Отсюда и пошло название "ломанные" числа.

Различают три вида дробей:

Единичные (аликвоты) или доли (например,1/2, 1/3, 1/4, и т.д.).

Систематические, т.е дроби, у которых знаменатель выражается степенью числа (например, степенью числа 10 или 60 и т.д.).

Общего вида, у которых числителем и знаменателем может быть любое число.

Существуют дроби «ложные» - неправильные и «реальные» - правильные.

m:n =m /n

В дроби m /n(читается: «эм энных») число m , находящееся над чертой, называется числителем, а число n, находящееся под чертой - знаменателем. Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, а числитель показывает, сколько таких частей взяли. Черту дроби можно понимать как знак деления.

В 1202 году он ввёл слово «дробь».

Названия числитель и знаменатель ввел в 13 веке Максим Плануд - греческий монах, ученый, математик.

Обыкновенные дроби сыграли свою роль и в музыке. И сейчас в определённой нотной записи длинная нота -целая - делится на половинки(вдвое короче), четверти, шестнадцатые и тридцать вторые. Таким образом, ритмичный рисунок любого музыкального произведения, каким бы он сложным ни был, определяется обыкновенными дробями. Гармония оказалась тесно связанной с дробями, что подтверждало основную мысль европейцев: «Число правит миром».

Основные результаты исследования

Вывод: Необходимость в дробях возникла на очень ранней ступени развития человека. В жизни человеку приходилось не только считать предметы, но и измерять величины. Люди измеряли длины, площади земельных участков, объемы, массы тел, время, вели расчеты за купленные или проданные товары. Не всегда результат измерения или стоимость товара удавалось выразить натуральным числом. Так появились дроби и правила обращения с ними.

Практическая значимость работы:

Я освоила навыки работы в текстовом редакторе и поработала с ресурсами Интернета. Отобрала материал для оформления в кабинете математики стенда «Математика вокруг нас» интересными фактами о дробях(Приложение 1). И оформила стенд (Приложение).

В результате исследования я подтвердила гипотезу: не могли люди обойтись без дробей, без дробей - не могла бы развиваться математика.

Список литературы

Анищенко Е. А. Число как основное понятие математики. Мариуполь, 2002.

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика. 5 класс: учеб.для общеобразовательных учреждений/- 26-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 280 с.

Гейзер Г.И. История математики в школе. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981. - 239 с.

Математика. 5 класс: учеб.для общеобразоват. учреждений. [СМ. Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В. Шевкин]. — 11-е изд, дораб. — М.: Просвещение, 2016. — 272 с. — (МГУ — школе).

Математический энциклопедический словарь. - М., 1988.

Электронные ресурсы удаленного доступа (Интернет)

3. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki

Цитаты. Режим доступа: http://citaty.socratify.net/lev-tolstoi/25013.

Приложения

Стенд «Математика вокруг нас»

Таблица «Запись дробей в Египте»

Десятичные дроби появились еще в III в. до н.э. в Древнем Китае, где использовалась десятичная система счисления. Китайский математик III в. Лю Хуэй рекомендовал пользоваться дробями со знаменателем 10, 100 и т.д. при извлечении квадратных корней. Он имел ввиду правило

которым впоследствии часто пользовались многие арабские и европейские математики. Именно это правило, наряду с некоторыми другими вычислительными приемами, во многом способствовали введению в науку десятичных дробей.

В XV в. полную теорию десятичных дробей разработал самаркандский астроном Джемшид аль-Каши в трактате "Ключ к арифметике" (1427 г.). Он подробно изложил правила действий с десятичными дробями. Возможно, что аль-Каши не знал о том, что десятичные дроби применялись в Китае. Сам он считал их своим изобретением. Несомненно то, что постоянное использование десятичных дробей и описание правил действий с ними является непосредственной заслугой ученого. Но трактаты его не были известны европейским ученым. Они самостоятельно разработали теорию десятичных дробей.

Мысль о построении такой системы дробей время от времени появлялась в учебниках арифметики уже с XIII в. Об этом писал Иордан Неморарий в сочинении "Арифметика, изложенная в десяти книгах".

Французский ученый Франсуа Виет в 1579 г. опубликовал в Париже свой труд "Математический канон", в котором привел тригонометрические таблицы, при составлении которых использовал десятичные дроби. При записи десятичных дробей он не придерживался какого=либо определенного способа: иногда отделял целую часть от дробной вертикальной чертой, иногда цифры целой части изображал жирным шрифтом, иногда цифры дробной части писал мельче. Так благодаря Виету десятичные дроби стали проникать в научные расчеты, но в повседневную практику они не вошли.

Голландский ученый Симон Стевин считал, что десятичными дробями нужно пользоваться во всех практических расчетах. Он посвятил этому свой труд "Десятая" (1585 г.), в котором ввел десятичные дроби, разработал правила арифметических действий с ними и предложил десятичную систему денежных единиц, мер и весов.

"Десятая" быстро стала известной в Европе. Издав книгу в 1585 г. на фламандском языке, автор в тот же год перевел ее на французский язык, а в 1601 она была опубликована на английском языке.

Записывал Стевин дроби не так, как теперь. Для указания дробной части использовался 0, обведенный кружком. Впервые запятую при записи дробей стали применять в 1592 г. В Англии же вместо запятой стали использовать точку, в США она используется до сих пор. Использовать запятую в качестве разделительного знака, как и точку, предложил в 1616-1617 г.г. знаменитый английский математик Джон Непер. Астроноа Иоганн Кеплер применял десятичную запятую в своих работах.

В России учение о десятичных дробях впервые изложил Л.Ф. Магницкий в своей "Арифметике".