В этой статье мы будем говорить о таком важном математическом понятии, как сложная функция, и учиться находить производную сложной функции.
Прежде чем учиться находить производную сложной функции, давайте разберемся с понятием сложной функции, что это такое, "с чем ее едят", и "как правильно ее готовить".
Рассмотрим произвольную функцию, например, такую:
Заметим, что аргумент , стоящий в правой и левой части уравнения функции - это одно и то же число, или выражение.
Вместо переменной мы можем поставить, например, такое выражение: . И тогда мы получим функцию
Назовем выражение промежуточным аргументом, а функцию - внешней функцией. Это не строгие математические понятия, но они помогают уяснить смысл понятия сложной функции.
Строгое определение понятия сложной функции звучит так:
Пусть функция определена на множестве и - множество значений этой функции. Пусть, множество (или его подмножество) является областью определения функции . Поставим в соответствие каждому из число . Тем самым на множестве будет задана функция . Ее называют композицией функций или сложной функцией.
В этом определении, если пользоваться нашей терминологией, - внешняя функция, - промежуточный аргумент.
Производная сложной функции находится по такому правилу:
Чтобы было более понятно, я люблю записывать это правило в виде такой схемы:
В этом выражении с помощью обозначена промежуточная функция.
Итак. Чтобы найти производную сложной функции, нужно
1. Определить, какая функция является внешней и найти по таблице производных соответствующую производную.
2. Определить промежуточный аргумент.
В этой процедуре наибольшие затруднения вызывает нахождение внешней функции. Для этого используется простой алгоритм:
а. Запишите уравнение функции.
б. Представьте, что вам нужно вычислить значение функции при каком-то значении х. Для этого вы подставляете это значение х в уравнение функции и производите арифметические действия. То действие, которое вы делаете последним и есть внешняя функция.
Например, в функции
Последнее действие - возведение в степень.
Найдем производную этой функции. Для этого запишем промежуточный аргумент
Производная сложной функции. Примеры решений
На данном уроке мы научимся находить производную сложной функции . Урок является логическим продолжением занятия Как найти производную? , на котором мы разобрали простейшие производные, а также познакомились с правилами дифференцирования и некоторыми техническими приемами нахождения производных. Таким образом, если с производными функций у Вас не очень или какие-нибудь моменты данной статьи будут не совсем понятны, то сначала ознакомьтесь с вышеуказанным уроком. Пожалуйста, настройтесь на серьезный лад – материал не из простых, но я все-таки постараюсь изложить его просто и доступно.
На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказал, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных.
Смотрим в таблицу на правило (№5) дифференцирования сложной функции:
Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.
Функцию я буду называть внешней функцией , а функцию – внутренней (или вложенной) функцией .
! Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий. Я применяю неформальные выражения «внешняя функция», «внутренняя» функция только для того, чтобы Вам легче было понять материал.
Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим:
Пример 1
Найти производную функции
Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя:
В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а – внешней функцией.
Первый шаг , который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней .
В случае простых примеров вроде понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого я предлагаю использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике.
Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения при (вместо единицы может быть любое число).
Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь
нужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет внутренней функцией :
Во вторую очередь
нужно будет найти , поэтому синус – будет внешней функцией:
После того, как мы РАЗОБРАЛИСЬ
с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции .
Начинаем решать. С урока Как найти производную? мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих:
Сначала находим производную внешней функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением , в данном случае:
Обратите внимание, что внутренняя функция не изменилась, её мы не трогаем .
Ну и совершенно очевидно, что
Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так:
Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:
Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.
Пример 2
Найти производную функции
Пример 3
Найти производную функции
Как всегда записываем:
Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: , значит, многочлен – и есть внутренняя функция:
И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция:
Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения
. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:
Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции , внутренняя функция у нас не меняется:
Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат:
Пример 4
Найти производную функции
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так?
Пример 5
а) Найти производную функции
б) Найти производную функции
Пример 6
Найти производную функции
Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:
Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции :
Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:
Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять).
Пример 7
Найти производную функции
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования частного , но такое решение будет выглядеть как извращение забавно. Вот характерный пример:
Пример 8
Найти производную функции
Здесь можно использовать правило дифференцирования частного , но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:
Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:
Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.
Используем наше правило :
Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:
Готово. В рассмотренном примере важно не запутаться в знаках. Кстати, попробуйте решить его с помощью правила , ответы должны совпасть.
Пример 9
Найти производную функции
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую, вложены сразу 3, а то и 4-5 функций.
Пример 10
Найти производную функции
Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение с помощью подопытного значения . Как бы мы считали на калькуляторе?
Сначала нужно найти , значит, арксинус – самое глубокое вложение:
Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат :
И, наконец, семерку возводим в степень :
То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.
Начинаем решать
Согласно правилу сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции: Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:
Под штрихом у нас снова сложная функция! Но она уже проще. Легко убедиться, что внутренняя функция – арксинус, внешняя функция – степень. Согласно правилу дифференцирования сложной функции сначала нужно взять производную от степени.
В «старых» учебниках его еще называют «цепным» правилом. Итак если у = f (u), а u = φ (х ), то есть
у = f (φ (х))
сложная - составная функция (композиция функций) то
где , после вычисления рассматривается приu = φ (х).
Отметим, что мы здесь брали «разные» композиции из одних и тех же функций, и результат дифференцирования естественно оказался зависимым от порядка «смешивания».
Цепное правило естественным образом распространяется и на композицию из трех и более функций. При этом «звеньев» в «цепочке», составляющей производную будет соответственно три или более. Здесь и аналогия с умножением: «у нас» - таблица производных; «там» - таблица умножения; «у нас» - цепное правило а «там» - правило умножения «столбиком». При вычислении таких «сложных» производных никаких вспомогательных аргументов (u¸v и пр.), конечно же, не вводится, а, отметив для себя число и последовательность участвующих в композиции функций, «нанизывают» в указанном порядке соответствующие звенья.
. Здесь с «иксом» для получения значения «игрека» проделывают пять операций, то есть, имеет место композиция из пяти функций: «внешняя» (последняя из них) - показательная - е ; далее в обратном порядке степенная. (♦) 2 ; тригонометрическая sin (); степенная. () 3 и наконец логарифмическая ln.(). Поэтому
Следующими примерами будем «убивать пары зайцев»: потренируемся в дифференцировании сложных функций и дополним таблицу производных элементарных функций. Итак:
4. Для степенной функции - у = х α - переписав её с помощью известного «основного логарифмического тождества» - b=e ln b - в виде х α = х α ln x получаем
5. Для произвольной показательной функции применяя тот же приём будем иметь
6. Для произвольной логарифмической функции используя известную формулу перехода к новому основанию последовательно получаем
.
7. Чтобы продифференцировать тангенс (котангенс) воспользуемся правилом дифференцирования частного:
Для получения производных обратных тригонометрических функций воспользуемся соотношением которому удовлетворяют производные двух взаимообратных функций, то есть функций φ (х) и f (х) связанных соотношениями:
Вот это соотношение
Именно из этой формулы для взаимно обратных функций
и
,
Под конец сведём эти и некоторые другие, так же легко получаемые производные, в следующую таблицу.
Если следовать определению, то производная функции в точке — это предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx :
Вроде бы все понятно. Но попробуйте посчитать по этой формуле, скажем, производную функции f (x ) = x 2 + (2x + 3) · e x · sin x . Если все делать по определению, то через пару страниц вычислений вы просто уснете. Поэтому существуют более простые и эффективные способы.
Для начала заметим, что из всего многообразия функций можно выделить так называемые элементарные функции. Это относительно простые выражения, производные которых давно вычислены и занесены в таблицу. Такие функции достаточно просто запомнить — вместе с их производными.
Производные элементарных функций
Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что заучить их совсем несложно — на то они и элементарные.
Итак, производные элементарных функций:
Название | Функция | Производная |
Константа | f (x ) = C , C ∈ R | 0 (да-да, ноль!) |
Степень с рациональным показателем | f (x ) = x n | n · x n − 1 |
Синус | f (x ) = sin x | cos x |
Косинус | f (x ) = cos x | − sin x (минус синус) |
Тангенс | f (x ) = tg x | 1/cos 2 x |
Котангенс | f (x ) = ctg x | − 1/sin 2 x |
Натуральный логарифм | f (x ) = ln x | 1/x |
Произвольный логарифм | f (x ) = log a x | 1/(x · ln a ) |
Показательная функция | f (x ) = e x | e x (ничего не изменилось) |
Если элементарную функцию умножить на произвольную постоянную, то производная новой функции тоже легко считается:
(C · f )’ = C · f ’.
В общем, константы можно выносить за знак производной. Например:
(2x 3)’ = 2 · (x 3)’ = 2 · 3x 2 = 6x 2 .
Очевидно, элементарные функции можно складывать друг с другом, умножать, делить — и многое другое. Так появятся новые функции, уже не особо элементарные, но тоже дифференцируемые по определенным правилам. Эти правила рассмотрены ниже.
Производная суммы и разности
Пусть даны функции f (x ) и g (x ), производные которых нам известны. К примеру, можно взять элементарные функции, которые рассмотрены выше. Тогда можно найти производную суммы и разности этих функций:
- (f + g )’ = f ’ + g ’
- (f − g )’ = f ’ − g ’
Итак, производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных. Слагаемых может быть больше. Например, (f + g + h )’ = f ’ + g ’ + h ’.
Строго говоря, в алгебре не существует понятия «вычитание». Есть понятие «отрицательный элемент». Поэтому разность f − g можно переписать как сумму f + (−1) · g , и тогда останется лишь одна формула — производная суммы.
f (x ) = x 2 + sin x; g (x ) = x 4 + 2x 2 − 3.
Функция f (x ) — это сумма двух элементарных функций, поэтому:
f ’(x ) = (x 2 + sin x )’ = (x 2)’ + (sin x )’ = 2x + cos x;
Аналогично рассуждаем для функции g (x ). Только там уже три слагаемых (с точки зрения алгебры):
g ’(x ) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · (x 2 + 1).
Ответ:
f
’(x
) = 2x
+ cos x;
g
’(x
) = 4x
· (x
2 + 1).
Производная произведения
Математика — наука логичная, поэтому многие считают, что если производная суммы равна сумме производных, то производная произведения strike ">равна произведению производных. А вот фиг вам! Производная произведения считается совсем по другой формуле. А именно:
(f · g ) ’ = f ’ · g + f · g ’
Формула несложная, но ее часто забывают. И не только школьники, но и студенты. Результат — неправильно решенные задачи.
Задача. Найти производные функций: f (x ) = x 3 · cos x; g (x ) = (x 2 + 7x − 7) · e x .
Функция f (x ) представляет собой произведение двух элементарных функций, поэтому все просто:
f ’(x ) = (x 3 · cos x )’ = (x 3)’ · cos x + x 3 · (cos x )’ = 3x 2 · cos x + x 3 · (− sin x ) = x 2 · (3cos x − x · sin x )
У функции g (x ) первый множитель чуть посложней, но общая схема от этого не меняется. Очевидно, первый множитель функции g (x ) представляет собой многочлен, и его производная — это производная суммы. Имеем:
g ’(x ) = ((x 2 + 7x − 7) · e x )’ = (x 2 + 7x − 7)’ · e x + (x 2 + 7x − 7) · (e x )’ = (2x + 7) · e x + (x 2 + 7x − 7) · e x = e x · (2x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x ) · e x = x (x + 9) · e x .
Ответ:
f
’(x
) = x
2 · (3cos x
− x
· sin x
);
g
’(x
) = x
(x
+ 9) · e
x
.
Обратите внимание, что на последнем шаге производная раскладывается на множители. Формально этого делать не нужно, однако большинство производных вычисляются не сами по себе, а чтобы исследовать функцию. А значит, дальше производная будет приравниваться к нулю, будут выясняться ее знаки и так далее. Для такого дела лучше иметь выражение, разложенное на множители.
Если есть две функции f (x ) и g (x ), причем g (x ) ≠ 0 на интересующем нас множестве, можно определить новую функцию h (x ) = f (x )/g (x ). Для такой функции тоже можно найти производную:
Неслабо, да? Откуда взялся минус? Почему g 2 ? А вот так! Это одна из самых сложных формул — без бутылки не разберешься. Поэтому лучше изучать ее на конкретных примерах.
Задача. Найти производные функций:
В числителе и знаменателе каждой дроби стоят элементарные функции, поэтому все, что нам нужно — это формула производной частного:
По традиции, разложим числитель на множители — это значительно упростит ответ:
Сложная функция — это не обязательно формула длиной в полкилометра. Например, достаточно взять функцию f (x ) = sin x и заменить переменную x , скажем, на x 2 + ln x . Получится f (x ) = sin (x 2 + ln x ) — это и есть сложная функция. У нее тоже есть производная, однако найти ее по правилам, рассмотренным выше, не получится.
Как быть? В таких случаях помогает замена переменной и формула производной сложной функции:
f ’(x ) = f ’(t ) · t ’, если x заменяется на t (x ).
Как правило, с пониманием этой формулы дело обстоит еще более печально, чем с производной частного. Поэтому ее тоже лучше объяснить на конкретных примерах, с подробным описанием каждого шага.
Задача. Найти производные функций: f (x ) = e 2x + 3 ; g (x ) = sin (x 2 + ln x )
Заметим, что если в функции f (x ) вместо выражения 2x + 3 будет просто x , то получится элементарная функция f (x ) = e x . Поэтому делаем замену: пусть 2x + 3 = t , f (x ) = f (t ) = e t . Ищем производную сложной функции по формуле:
f ’(x ) = f ’(t ) · t ’ = (e t )’ · t ’ = e t · t ’
А теперь — внимание! Выполняем обратную замену: t = 2x + 3. Получим:
f ’(x ) = e t · t ’ = e 2x + 3 · (2x + 3)’ = e 2x + 3 · 2 = 2 · e 2x + 3
Теперь разберемся с функцией g (x ). Очевидно, надо заменить x 2 + ln x = t . Имеем:
g ’(x ) = g ’(t ) · t ’ = (sin t )’ · t ’ = cos t · t ’
Обратная замена: t = x 2 + ln x . Тогда:
g ’(x ) = cos (x 2 + ln x ) · (x 2 + ln x )’ = cos (x 2 + ln x ) · (2x + 1/x ).
Вот и все! Как видно из последнего выражения, вся задача свелась к вычислению производной суммы.
Ответ:
f
’(x
) = 2 · e
2x
+ 3 ;
g
’(x
) = (2x
+ 1/x
) · cos (x
2 + ln x
).
Очень часто на своих уроках вместо термина «производная» я использую слово «штрих». Например, штрих от суммы равен сумме штрихов. Так понятнее? Ну, вот и хорошо.
Таким образом, вычисление производной сводится к избавлению от этих самых штрихов по правилам, рассмотренным выше. В качестве последнего примера вернемся к производной степени с рациональным показателем:
(x n )’ = n · x n − 1
Немногие знают, что в роли n вполне может выступать дробное число. Например, корень — это x 0,5 . А что, если под корнем будет стоять что-нибудь навороченное? Снова получится сложная функция — такие конструкции любят давать на контрольных работах и экзаменах.
Задача. Найти производную функции:
Для начала перепишем корень в виде степени с рациональным показателем:
f (x ) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
Теперь делаем замену: пусть x 2 + 8x − 7 = t . Находим производную по формуле:
f ’(x ) = f ’(t ) · t ’ = (t 0,5)’ · t ’ = 0,5 · t −0,5 · t ’.
Делаем обратную замену: t = x 2 + 8x − 7. Имеем:
f ’(x ) = 0,5 · (x 2 + 8x − 7) −0,5 · (x 2 + 8x − 7)’ = 0,5 · (2x + 8) · (x 2 + 8x − 7) −0,5 .
Наконец, возвращаемся к корням: