Как провести сечение в кубе. Тема урока: Задачи на построение сечений

Задачи на построение сечений куба плоскостью, как правило, проще чем, например, задачи на сечения пирамиды.

Провести прямую можем через две точки, если они лежат в одной плоскости. При построении сечений куба возможен еще один вариант построения следа секущей плоскости. Поскольку две параллельные плоскости третья плоскость пересекает по параллельным прямым, то, если в одной из граней уже построена прямая, а в другой есть точка, через которую проходит сечение, то можем провести через эту точку прямую, параллельную данной.

Рассмотрим на конкретных примерах, как построить сечения куба плоскостью.

1) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки A, C и M.

Задачи такого вида — самые простые из всех задач на построение сечений куба. Поскольку точки A и C лежат в одной плоскости (ABC), то через них можем провести прямую. Ее след — отрезок AC. Он невидим, поэтому изображаем AC штрихом. Аналогично соединяем точки M и C, лежащие в одной плоскости (CDD1), и точки A и M, которые лежат в одной плоскости (ADD1). Треугольник ACM — искомое сечение.

2) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Здесь только точки M и N лежат в одной плоскости (ADD1), поэтому проводим через них прямую и получаем след MN (невидимый). Поскольку противолежащие грани куба лежат в параллельных плоскостях, то секущая плоскость пересекает параллельные плоскости (ADD1) и (BCC1) по параллельным прямым. Одну из параллельных прямых мы уже построили — это MN.

Через точку P проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро BB1 в точке S. PS — след секущей плоскости в грани (BCC1).

Проводим прямую через точки M и S, лежащие в одной плоскости (ABB1). Получили след MS (видимый).

Плоскости (ABB1) и (CDD1) параллельны. В плоскости (ABB1) уже есть прямая MS, поэтому через точку N в плоскости (CDD1) проводим прямую, параллельную MS. Эта прямая пересекает ребро D1C1 в точке L. Ее след — NL (невидимый). Точки P и L лежат в одной плоскости (A1B1C1), поэтому проводим через них прямую.

Пятиугольник MNLPS — искомое сечение.

3) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Точки M и N лежат в одной плоскости (ВСС1), поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN (видимый). Плоскость (BCC1) параллельна плоскости (ADD1),поэтому через точку P, лежащую в (ADD1), проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро AD в точке E. Получили след PE (невидимый).

Больше нет точек, лежащей в одной плоскости, или прямой и точки в параллельных плоскостях. Поэтому надо продолжить одну из уже имеющихся прямых, чтобы получить дополнительную точку.

Если продолжать прямую MN, то, поскольку она лежит в плоскости (BCC1), нужно искать точку пересечения MN с одной из прямых этой плоскости. С CC1 и B1C1 точки пересечения уже есть — это M и N. Остаются прямые BC и BB1. Продолжим BC и MN до пересечения в точке K. Точка K лежит на прямой BC, значит, она принадлежит плоскости (ABC), поэтому через нее и точку E, лежащую в этой плоскости, можем провести прямую. Она пересекает ребро CD в точке H. EH -ее след (невидимый). Поскольку H и N лежат в одной плоскости (CDD1), через них можно провести прямую. Получаем след HN (невидимый).

Плоскости (ABC) и (A1B1C1) параллельны. В одной из них есть прямая EH, в другой — точка M. Можем провести через M прямую, параллельную EH. Получаем след MF (видимый). Проводим прямую через точки M и F.

Шестиугольник MNHEPF — искомое сечение.

Если бы мы продолжили прямую MN до пересечения с другой прямой плоскости (BCC1), с BB1, то получили бы точку G, принадлежащую плоскости (ABB1). А значит, через G и P можно провести прямую, след которой PF. Далее — проводим прямые через точки, лежащие в параллельных плоскостях, и приходим к тому же результату.

Работа с прямой PE дает то же сечение MNHEPF.

4) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точку M, N, P.

Здесь можем провести прямую через точки M и N, лежащие в одной плоскости (A1B1C1). Ее след — MN (видимый). Больше нет точек, лежащих в одной плоскости либо в параллельных плоскостях.

Продолжим прямую MN. Она лежит в плоскости (A1B1C1), поэтому пересечься может только с одной из прямых этой плоскости. С A1D1 и C1D1 точки пересечения уже есть — N и M. Еще две прямые этой плоскости — A1B1 и B1C1. Точка пересечения A1B1 и MN — S. Поскольку она лежит на прямой A1B1, то принадлежит плоскости (ABB1), а значит, через нее и точку P, лежащую в этой же плоскости, можно провести прямую. Прямая PS пересекает ребро AA1 в точке E. PE — ее след (видимый). Через точки N и E, лежащие в одной плоскости (ADD1), можно провести прямую, след которой — NE (невидимый). В плоскости (ADD1) есть прямая NE, в параллельной ей плоскости (BCC1) — точка P. Через точку P можем провести прямую PL, параллельную NE. Она пересекает ребро CC1 в точке L. PL — след этой прямой (видимый). Точки M и L лежат в одной плоскости (CDD1), значит, через них можно провести прямую. Ее след — ML (невидимый). Пятиугольник MLPEN — искомое сечение.

Можно было продолжать прямую NM в обе стороны и искать ее точки пересечения не только с прямой A1B1, но и с прямой B1C1, также лежащей в плоскости (A1B1C1). В этом случае через точку P проводим сразу две прямые: одну — в плоскости (ABB1) через точки P и S, а вторую — в плоскости (BCC1), через точки P и R. После чего остается соединить лежащие в одной плоскости точки: M c L, E — с N.

Общеобразовательная школа І-ІІІ ступеней №2

отдела образования администрации города Кировское

«Сечение куба плоскостью

и практическое их применение в задачах».

Подготовила учитель математики

учитель-методист

Чумакова Г.В.

2015 г.

Введение:

Задачи на построение сечений многогранников занимают значительное место как школьном курсе геометрии для старших классов, так и на экзаменах разного уровня. Решение этого вида задач способствует усвоению аксиом стереометрии, систематизации знаний и умений, развитию пространственного представления и конструктивных навыков. Общеизвестны трудности, возникающие при решении задач на построение сечений.

Основными действиями, составляющими метод построения сечений, являются нахождение точки пересечения прямой с плоскостью, построение линий пересечения двух плоскостей, построение прямой параллельной плоскости, построение прямой перпендикулярной плоскости.

Проиллюстрирую построение сечения на одной задаче из школьного курса математики:

№1. Постройте хотя бы два сечения куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью АМ 1 С, если точка М 1 движется по отрезку ВВ 1 от В до В 1 . Найдите границы измерения высоты сечения, проведённой из точки М 1 .

Решение: Построим два требуемых сечения, взяв точку М 1 ближе к точке В, а точку М 2 ближе к В 1 . Оба сечения показаны на рисунке.В начале движения когда точка М 1 только отошла от точки В 1 , сечение представляет собой треугольник с основанием АС и высотой М 1 О, которая чуть больше отрезка ВО, т.е.
Если точка М 1 займёт положение М 2 расположенной очень близко к точке В 1 , то АМ 2 С почти совпадёт с АВ 1 С, а его высота М 1 О – с отрезком В 1 О, длина которого равна
(ОВ 1 =
=
).

Отсюда по соображениям непрерывности делаем вывод:

Особо следует посмотреть, что произойдёт, если точка М 1 займёт положение вершины В.

№2. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три точки А 1 , E и L , лежащие на рёбрах куба.

Плоскости граней A 1 ADD 1 и DD 1 C 1 C пересекаются по прямой DD 1 , а плоскости граней A 1 B 1 C 1 D 1 u DD 1 C 1 C – по прямой D 1 C 1 . Соединив точки А и Е, получим прямую пересечения секущей плоскости с плоскостью грани AA 1 D 1 D , а продолжив её, найдём точку N , принадлежащую трём плоскостям: плоскости сечения и плоскостям граней AA 1 D 1 D u DD 1 C 1 C .

Аналогично найдём точку М, общую трём плоскостям: плоскости сечения и плоскостям граней A 1 B 1 C 1 D 1 u DD 1 C 1 C . Таким образом, точки N u M принадлежат секущей плоскости и плоскости DD 1 C 1 C ; прямая MN – линия пересечения плоскости сечения с плоскостью грани DD 1 C 1 C , а F и K – точки пересечения её с рёбрами куба CD u CC 1 . Последовательно соединив прямыми точки A 1 , E , F , K u L , получаем пятиугольник A ! EFKL , который и даст нам искомое сечение.

При построении сечения куба плоскостью Х при произвольном расположении точек в сечении получается: треугольник, трапеция, прямоугольник, пятиугольник или шестиугольник. Естественно возник вопрос, как вид сечения зависит от вида расположения точек задающих это сечение

Я решил провести исследование, цель которого является выяснение.

Построить сечения куба плоскостью, когда заданы три точки принадлежащие рёбрам с одной вершиной.

Взяты три точки A 1 , D , C 1 , которые принадлежат вершине D 1 , а сами являются вершинами куба.

В сечении получился равносторонний треугольник, так как A 1 C 1 , A 1 D u DC 1 – диагонали граней этого куба.

Три точки: A 1 u C 1 – вершины куба, а точка F принадлежит ребру куба DD 1 . Точки принадлежат прямым выходящим из вершины D 1 .

В сечении получился равнобедренный треугольник, так как F равноудалена от точек A 1 u C 1 .

Три точки: A 1 u C 1 – вершины куба, а точка F принадлежит прямой ребра куба DD 1 . Точки принадлежат прямым выходящим из одной вершины D 1 .

В сечении получается равнобедренная трапеция, так как F равноудалена от точек A 1 u C 1 , то есть LA 1 =KC 1 .

Три точки принадлежащие рёбрам с одной вершиной D 1 . Точки F u M принадлежат продолжениям рёбер D 1 D u D 1 C соответственно, а точка A 1 является вершиной куба.

В сечении получился пятиугольник A 1 KLNG .

Взяты три точки F , M u Q так, что лежат на продолжении рёбер D 1 D , D 1 C 1 , и D 1 A 1 соответственно.

В сечении получился шестиугольник KLNGJH .

Три точки лежат на рёбрах с одной вершиной D 1 .

В сечении получился произвольный треугольник, но если точки расположить так чтобы D 1 Q =D 1 M =D 1 F , то есть если они были бы равноудалены от вершины D 1 то в сечении получился бы равносторонний треугольник.

Секущая плоскость задана точками Н, Q и M . В сечении получается параллелограмм, так как KC ││ MP и MK ││ PC по теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей.

Если точки H , Q и M , задают секущую плоскость, удаленные от D , на расстоянии 2a , где а – для ребра куба, то в сечении получается правильный треугольник ACB 1 .

Вывод: три задающих сечение точки принадлежат трём рёбрам куба с общей вершиной или являются их продолжением, то в сечении получается: треугольник, пятиугольник, шестиугольник трапеция, параллелограмм.

Построение сечения куба плоскостью, когда заданы три точки, две из которых лежат на смежных рёбрах, а третья точка лежит на ребре не смежном с ними.

Три точки M , K u F , взяты так что M u F принадлежат рёбрам с одной вершиной A 1 , а точка K лежит на ребре не смежным с ними.

В сечении получается прямоугольник, так как А 1 М=D 1 K и по теореме о трёх перпендикулярах можно доказать что MKLF – прямоугольник., а если А 1 МD 1 K , то может получится трапеция или пятиугольник.

Взяты три точки так, что K u L принадлежат рёбрам выходящим из одной вершины A 1, а точка N принадлежит ребру CC 1 , не смежному сними. K , L u N середины рёбер A 1 A , A 1 B 1 u CC 1 – соответственно.

В сечении получается правильный шестиугольник KLGNHM

Взяты три точки так, что K u L принадлежат рёбрам выходящим из одной вершины A 1, а точка T принадлежит ребру DC .

В сечении получается шестиугольник KLFRTZ .

Три точки взяты так, что K u L принадлежат рёбрам куба с одной вершины A 1 , а точка M ребре DD 1 .

В сечении получается трапеция LKQM .

Три точки K u L которые принадлежат рёбрам с одной вершиной A 1 .и точка R которая лежит на ребре BC .

В сечении получается пятиугольник KLFRT .

Вывод: Если секущая плоскость задана тремя точками, две из которых лежат на смежных рёбрах, а третья на ребре не смежном с ними, то в сечении может получиться прямоугольник, пятиугольник, шестиугольник, трапеция.

В сечении куба параллелограмм и его частные случаи.

Точки T , H , J задающие сечение расположены так, что THAD , HJAD . В сечении получается квадрат HTKJ .

Сечение задано точками C , F , L , причём DF =FD 1 , BL =LB 1 . В сечении получается ромб AFCL .

Сечение задано точками C , G , H . B 1 H =DG . В сечении параллелограмм A 1 GCH.

Точки задающие сечение являются вершинами куба A , D , C 1 . В сечении получается прямоугольник

В сечении куба правильные многоугольники

Треугольник АВВ 1 равносторонний, так как его стороны это диагонали граней куба.

Треугольник КМТ равносторонний, так как КВ=МВ=ТВ.

КМТЕ – квадрат, так как сечение задано точками М, К, Е и МКAD , EKAD .

В сечении правильный шестиугольник КМТНЕО, так как точки Н, Е, К задающие сечение являются серединами рёбер СС 1 , DC , АА 1 соответственно.

Куб и несколько задач по стереометрии с ЕГЭ.

В пособии “ЕГЭ 2005. Математика. Типовые тестовые задачи” (Корникова Т. А. и др.) Содержит 10 задач (С4) по стереометрии, объединенных общей идеей: дана треугольная призма АВСА 1 В 1 С 1 стороны основания АВ и ВС взаимно перпендикулярны и перпендикулярны ребру ВВ 1 , АВ=ВС=ВВ 1 , вершина А является вершиной конуса (или центром одного из оснований цилиндра, или центром сферы), основание конуса (сфера или второе основание цилиндра) проходит через середину одного ребра призмы, длина его известна. Надо найти объем или поверхность конуса (сферы, цилиндра).

Общий пример решения:

Данную призму дополнить до куба. Шестиугольник DEFKLM – сечение куба плоскостью основания конуса, окружность которого проходит через середину А 1 В 1 , А – вершина конуса, или

DEFKLM – сечение куба плоскостью основания цилиндра, окружность которого проходит через середину А 1 В 1 , А – центр второго основания цилиндра, или это сечение куба плоскостью большого круга сферы с центром А, сфера которого проходит через середину А 1 В 1 .

Шестиугольник DEFKLM – сечение куба плоскостью, проходящей через середину рёбер А 1 В 1 , ВВ 1 , ВСЖ при построении получаются точки K , L , M , которые являются серединами соответствующих рёбер. Стороны этого шестиугольника являются гипотенузами треугольников DB 1 E , EBF , FCK , KQL , LRM , MA 1 D , катеты которых равны половине ребра куба. Тогда центр этого шестиугольника является центром описанной около него окружности, которая пересекает рёбра куба в точках D , E , F , K , L и М, радиус этой окружности
, где А 1 В 1 = а .

AO EL, т . к . EAL – равнобедренный: AL = AE .

( ABE u EAL – прямоугольные, AB = AQ = а, BE = LQ = )

EO =OL как середина диагонали ЕL шестиугольника DEFKLM , т. е. АО – медиана,а по свойствам равнобедренного треугольника и высота. Аналогично доказывается АО DK . Так как АО перпендикулярна к двум пересекающимся прямым плоскости шестиугольника, то АО перпендикулярна ко всей плоскости.

Если А – вершина конуса то АО – его высота, если А – центр второго основания цилиндра, то АО- высота цилиндра.

АВС: АС=
, P – точки пресечения диагоналей основания куба, АР=
, РР 1 =АА 1 = а . ОР=РР 1 = , тогда из прямоугольного РОА АО=
. И так АО=
.

Тогда, если идёт речь о конусе:

(из
).

Ответ:

Если речь идёт цилиндре:

Ответ:

Если речь идёт о сфере:

Ответ:

Корникова Т. А. и др. типовые тестовые задания. ЕГЭ – 2005

Вариант 6.

Задача. Даны призма АВСА 1 В 1 С 1 и цилиндр. Стороны АВ и ВС основания призмы перпендикулярны ребру ВВ 1 и взаимно перпендикулярны. Центром основания цилиндра служит точка А 1 окружность второго основания проходит через середину ребра А 1 В 1 .

Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если ВВ 1 =АВ=ВС=10. Найдите его объём.

Решение:

.
.

В1. В. Куб. Уровень B. Помощь. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки А,К и Е.Найдите линию пересечения этой плоскости а) с ребром ВВ1; б)плоскостью (СС1D). Е. С1. К. А1. D1. С. D. А. Меню.

Слайд 4 из презентации «Задачи на построение сечений» . Размер архива с презентацией 198 КБ.

Геометрия 10 класс

краткое содержание других презентаций

«Определение двугранных углов» - Точка на ребре может быть произвольная. Построим BK. Задача. Решение задач. Плоскость М. Ромб. Определение и свойства. Где можно увидеть теорему трёх перпендикуляров. Концы отрезка. Проведем луч. Свойства. Двугранные углы в пирамидах. Точки М и К лежат в разных гранях. Отрезки АС и ВС. Свойство трёхгранного угла. Определение. Двугранные углы. Найдите угол. Провести перпендикуляр. Градусная мера угла.

«Примеры центральной симметрии» - Плоскость. Аксиомы планиметрии. Точки. Центральная симметрия. Один центр симметрии. Гостиница «Прибалтийская». Капсула поезда. Длина отрезка. Примеры симметрии в растениях. Центральная симметрия в архитектуре. Ромашка. Отрезок имеет определённую длину. Отрезок. Аксиомы стереометрии и планиметрии. Аксиомы стереометрии. Центральная симметрия в квадратах. Центральная симметрия в транспорте. Различные прямые.

«Равносторонние многоугольники» - Октаэдр Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. «Эдра» - грань «тетра» - 4 «гекса» - 6 «окта» - 8 «икоса» - 20 «дедека» - 12. Тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. Додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер. Октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер. Существует 5 видов правильных многогранников. Додекаэдр Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников.

«Применение правильных многогранников» - Многогранники в природе. Теорема Эйлера. Задачи проекта. Использование в жизни. Мир правильных многогранников. Многогранники в архитектуре. Многогранники в искусстве. Многогранники в математике. Архимед. Кеплер. Теория многогранников. Золотая пропорция в додекаэдре и икосаэдре. Заключение. Платон. Группа «Историки». Евклид. История возникновения правильных многогранников. Взаимосвязь «золотого сечения» и происхождения многогранников.

«Тела Платона» - Октаэдр. Тела Платона. Гексаэдр. Правильные многогранники. Платон. Додекаэдр. Дуальность. Икосаэдр. Правильные многогранники или тела Платона. Тетраэдр.

«Методы построения сечений многогранников» - Правила для самоконтроля. Постройте сечение призмы. Корабль. Многоугольники. Простейшие задачи. Взаимное расположение плоскости и многогранника. Точки пересечения. Пересекаются ли прямые. Разрезы образовали пятиугольник. Делаем разрезы. Законы геометрии. Аксиоматический метод. След секущей плоскости. Задача. Секущая плоскость. Построение сечений многогранников. Сечение. Опрос. Любая плоскость. Сечения параллелепипеда.

Задачи на Построение сечений кубаD1
С1
Е
А1
B1
D
А
F
B
С

Проверочная работа.

1 вариант
2 вариант
1. тетраэдр
1. параллелепипед
2. Свойства параллелепипеда

Секущей плоскостью куба называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного куба.

Секущая
плоскость пересекает грани куба по
отрезкам.
Многоугольник, сторонами которого являются
данные отрезки, называется сечением куба.
Сечениями куба могут быть треугольники,
четырёхугольники, пятиугольники и
шестиугольники.
При построении сечений следует учитывать тот
факт, что если секущая плоскость пересекает две
противоположные грани по каким-то отрезкам, то
эти отрезки параллельны. (Объясните почему).

B1
C1
D1
A1
M
K
ВАЖНО!
B
С
D
ЕслиAсекущая плоскость пересекает
противоположные грани, то она
K DCC1
пересекает их по параллельным
M BCC1
отрезкам.

три данные точки, являющиеся серединами рёбер. Найдите периметр сечения, если ребро ку

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через
три данные точки, являющиеся серединами рёбер.
Найдите периметр сечения, если ребро куба равно а.
D1
N
K
А1
D
А
С1
B1
M
С
B

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через три данные точки, являющиеся его вершинами. Найдите периметр сечения, если ребро куба

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через
три данные точки, являющиеся его вершинами. Найдите
периметр сечения, если ребро куба равно а.
D1
С1
А1
B1
D
А
С
B

D1
С1
А1
М
B1
D
А
С
B

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через три данные точки. Найдите периметр сечения, если ребро куба равно а.

D1
С1
А1
B1
N
D
А
С
B

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через три данные точки, являющиеся серединами его рёбер.

С1
D1
B1
А1
K
D
С
N
Е
А
M
B

Выбери многогранник и уровень трудности

Параллелепипед.

Тетраэдр.

Куб. Уровень А.

Уровень А.

Параллелепипед.

Куб. Уровень В.

Уровень В.

Тетраэдр.

Уровень В.

Параллелепипед.

Тетраэдр.

Куб. Уровень С.

Уровень С.

Куб. Уровень A.

точки М,Н и К, где КЄ(DCC 1 D 1 ).

в 1

С 1

D 1

Помощь

плоскости а) с ребром ВВ 1 ; б)плоскостью (СС 1 D).

Куб. Уровень B.

в 1

С 1

D 1

Помощь

Куб. Уровень С.

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки К,Е и М (М Є АВ). Затем найдите точку пересечения прямой ВВ 1 с этой плоскостью.

в 1

С 1

D 1

Куб. Уровень A.

Построить сечение тетраэдра, проходящего через

точки М,Н и К, где КЄ(DCC 1 D 1 ).

в 1

С 1

ЕР ll МН

D 1

Куб. Уровень B.

в 1

С 1

D 1

АН ll КЕ

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через

точки А,К и Е.Найдите линию пересечения этой

плоскости а) с ребром ВВ 1 ; б)плоскостью (СС 1 D).

Куб. Уровень С.

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки К,Е и М (М Є АВ). Затем найдите точку пересечения прямой ВВ1 с этой плоскостью.

в 1

С 1

D 1

РHКЕRF – искомое сечение

Уровень А. На ребрах АА 1 и А 1 Д 1 1 1 = 6, А 1 Д 1 = 8, АВ = 4 см.

Помощь

Уровень В.

Помощь

УровеньС. На ребрах параллелепипеда даны три точки S,R и L. Построить сечение параллелепипеда плоскостью SRL.

Помощь

Уровень А. На ребрах АА 1 и А 1 Д 1 параллелепипеда взяты соответственно середины S,R. Построить сечение параллелепипеда плоскостью SRВ 1 и найти площадь сечения, если АА 1 = 6, А 1 Д 1 = 8, АВ = 4 см.